2.4 用向量讨论垂直与平行（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§4　用向量讨论垂直与平行 授课提示：对应学生用书第21页 一、直线、平面间的平行、垂直 设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α的法向量为n，则： 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α e1⊥n e1∥n 二、线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直． 三、面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 四、面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 五、三垂线定理 1．文字语言：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直． 2．几何语言 ⇒a⊥b 3．图形语言 [疑难提示] 　平行关系的判定与证明、垂直关系的证明 (1)证明线面平行常用的方法 ①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面． ②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行． ③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明面面平行常用的方法 ①证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面． ②证明两个平面的法向量平行． ③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量． (3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问题． (4)用向量法证明线段垂直 证明两直线的方向向量垂直． (5)用向量法证明线面垂直 设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量． ①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c. (6)用向量法证明面面垂直 ①转化为证线面垂直． ②证两平面的法向量垂直． [想一想] 1．三垂线定理的作用是什么？ 提示：三垂线定理的结论跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，在证明线线垂直问题时，非常简捷． [练一练] 2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．[来源:Zxxk.Com] 答案：D 授课提示：对应学生用书第22页 探究一　三垂线定理在证明垂直问题中的应用 [典例1]　如图所示，在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的投影O1是△BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的投影O2必是△ACD的垂心． [证明]　连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交． ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD， ∴DO1是AD在平面BCD内的投影， ∴BC⊥AD(三垂线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线， BO2⊥平面ACD， ∴CO2是BC在平面ACD内的投影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)． 同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心． 三垂线定理的证明要用向量法，但在使用三垂线定理时，与向量无关，是纯几何问题．应用定理的关键是：一定面，二查线，三垂直，问题即可解决． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝1，BC＝，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．求证：A1E⊥平面AED. 证明：∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，∴D1A1，D1C1，D1D两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz. 则D(0,0,2)，A(，0,2)，E(，1,1)，A1(，0,0)， ∴＝(，0,0)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,1)， ∴·＝0，·＝0， ∴A1E⊥DA，A1E⊥AE， 又DA∩AE＝A，∴A1E⊥平面AED. 2.(1)已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. (2)在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC. 证明：(1)因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OA B.所以∠AOC＝∠AOB. 因为·＝·(－) ＝·－· ＝||||cos∠AOC－||||·cos ∠AOB＝0， 所以⊥，所以OA⊥BC. (2)以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则 A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)， 所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设