3.1.1 椭圆及其标准方程（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§1　椭　圆 1．1　椭圆及其标准方程 授课提示：对应学生用书第31页 一、椭圆的定义 我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距． 二、椭圆的标准方程 [来源:学_科_网Z_X_X_K] 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a、b、c的关系 a2＝b2＋c2 [疑难提示] 　求椭圆标准方程时应注意的问题 (1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面． “定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，常用待定系数法． (2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为＋＝1(m>0，n>0且m≠n)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，这种形式在解题中较为方便． [练一练] 1．已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法： ①当a＝2时，点P的轨迹不存在； ②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3； ③当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6； ④当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆． 其中正确的说法是__________(填序号)． 解析：当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，①正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，②错误；③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，④错误． 答案：①③ 2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________． 解析：由10－k>k－5>0，得5<k<. 答案：(5，) [来源:Z§xx§k.Com] 授课提示：对应学生用书第31页 探究一　椭圆的定义 [典例1]　点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝4，点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程． [解析]　＋＝4. 即为＋＝4，设F1(0，1)，F2(0，－1)，则上式即为|MF1|＋|MF2|＝4，即动点M到两定点F1，F2的距离之和为定值2a＝4，且2a>|F1F2|＝2.∴点M的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F1(0,1)和F2(0，－1)． ∴2c＝2，c＝1,2a＝4，a＝2. ∴点M的轨迹方程为＋＝1. 到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆．特别注意焦点的位置及a，b，c的关系． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上，且2a＝4，c＝1，故a＝2，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 答案：B 2．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程． 解析：解法一　若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 依题意，有解得a2＝4，b2＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，同理这与a>b矛盾． 故所求椭圆方程为＋y2＝1. 解法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 将A，B坐标代入得 解得故所求椭圆方程为＋y2＝1. 探究二　椭圆定义的应用 [典例2]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [解析]　由已知a＝2，b＝， 所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② ②代入①解得|PF1|＝， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120° ＝××2×＝， 即△PF1F2的面积是. 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin C，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF