3.2.1 抛物线及其标准方程（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§2　抛物线 2．1　抛物线及其标准方程 授课提示：对应学生用书第35页 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线． 二、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) (，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) (－，0) x＝ x2＝2py(p>0) (0，) y＝－ x2＝－2py(p>0) (0，－) y＝ [疑难提示] 　抛物线定义的理解 (1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1. (2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线． [想一想] 1．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定． [练一练] 2．若－|x－y＋3|＝0，则动点M(x，y)的轨迹是(　　) A．一条线段　　　　　　 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 解析：由已知得＝，这表明点M(x，y)到定点F(－3,1)的距离与到定直线l：x－y＋3＝0的距离相等．又F∉l，所以由抛物线的定义，知动点M(x，y)的轨迹是抛物线． 答案：D 3．抛物线y2＝4x的准线方程是________，焦点坐标是________． 解析：由y2＝4x知＝1，所以准线方程为x＝－1，焦点坐标为(1,0)． 答案：x＝－1　(1,0)　 授课提示：对应学生用书第36页 探究一　由抛物线求焦点和准线 [典例1]　求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值． [解析]　将y＝2ax2化为标准方程得x2＝y. ∴焦点为(0，)，准线方程为y＝－， 顶点坐标为(0,0)，当a>0时，开口向上，p＝； 当a<0时，开口向下，p＝－. 一般地，不论a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为F(，0)，准线方程均为x＝－；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F(0，)，准线方程为y＝－，而p(指焦点到准线的距离)总是正数． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知抛物线标准方程，分别求其焦点坐标和准线方程． (1)y2＝8x； (2)2x2－5y＝0. 解析：(1)因为p＝4，所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2. (2)2x2－5y＝0化为x2＝y，抛物线开口向上， ∴p＝. ∴抛物线焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－. 2．指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向． (1)y＝x2； (2)x＝ay2(a≠0)．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 解析：(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y， ∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y2＝x， ∴2p＝. ①当a>0时，＝，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－； ②当a<0时，＝－，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－. 综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左． 探究二　求抛物线的标准方程 [典例2]　根据下列条件确定抛物线的标准方程． (1)关于y轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x－2y－4＝0上； (4)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为. [解析]　(1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝.所以所求抛物线方程为x2＝－y. (2)设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8)的坐标代入y2＝2px，得p＝8，将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y. (3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点坐标为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y.当焦点坐标为(4,0)时，由＝4，得p＝8， 所以所求抛物线方程为y2＝16x.