3.2.2 抛物线的简单性质（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

2.2　抛物线的简单性质 授课提示：对应学生用书第38页 一、四种标准形式的抛物线几何性质的比较 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图像 性质 焦点 (，0) (－，0) (0，) (0，－) 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、抛物线的通径 过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段叫作抛物线的通径，抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为2p. [疑难提示] 　抛物线的开口大小与参数p的关系 参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，由方程y2＝2px(p>0)知，对于同一个x值，p越大，|y|的值也 越大，或者说抛物线开口也越大．所以可以说一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大． [想一想] 1．抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？ 提示：有一条对称轴；不是中心对称图形． [练一练] 2．抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为坐标原点，则(　　) A．通径AB的长为8，△AOB的面积为4 B．通径AB的长为8，△AOB的面积为2 C．通径AB的长为4，△AOB的面积为4 D．通径AB的长为4，△AOB的面积为2 解析：由抛物线x2＝－4y知通径长为4，△AOB的面积为×2p×＝×4×1＝2. 答案：D 3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有1个公共点，则这样的直线有(　　) A．1条　　　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 解析：点(2,4)在抛物线y2＝8x上，故过点(2,4)且与抛物线只有1个交点的直线有2条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切． 答案：B 4．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P点的横坐标为________，p的值为________． 答案：9或1　2或18 授课提示：对应学生用书第39页 探究一　抛物线的几何性质及应用 [典例1]　抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程． [解析]　∵椭圆＋＝1的短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴， 设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6， ∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3. 1．用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤 (1)定位置；(2)设方程；(3)寻关系；(4)得方程． 2．注意只有抛物线的标准方程中p才有几何意义，即焦点到准线的距离． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(1)已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．0 (2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)最近的点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．0<a≤1 C．a≤1 D．a≤0 解析：(1)z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2， 因为x≥0. 所以x＝0时，z有最小值，zmin＝3. (2)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)， 则|PA|2＝d2＝x2＋(y－a)2＝2y＋(y－a)2 ＝y2－(2a－2)y＋a2 ＝[y－(a－1)]2＋(2a－1)． 因为y∈[0，＋∞)，根据题意知， ①当a－1≤0，即a≤1时，y＝0时，d＝a2. 这时dmin＝|a|. ②当a－1>0，即a>1时， y＝a－1时d2取到最小值，不符合题意． 综上可知a≤1. 答案：(1)B　(2)C 2．已知抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点O，经过点M(2，y0)，且点M到该抛物线焦点F的距离为3. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求|OM|的值． 解析：(1)由题意设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F的坐标为，准线方程为x＝－. ∵点M在抛物线上，∴点M到焦点的距离等于其到准线的距离，即|MF|＝2＋＝3， ∴＝2＋＝3. 解得p＝2，y0＝±2， ∴抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)由(1)知点M(2，±2)，根据两点间的距离公式有|OM|＝＝2. 探究二　直线与抛物线相交问题 [典例2]　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．若点N是点C关于坐标原点O的