3.3.1 双曲线及其标准方程（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§3　双曲线 3．1　双曲线及其标准方程 授课提示：对应学生用书第41页 一、双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线；这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 二、双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a、b、c关系 c2＝a2＋b2 [疑难提示] 　双曲线定义的理解 (1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了． (2)双曲线的定义中要注意两点： ①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|－|PF2|＝2a<|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若|PF2|－|PF1|＝2a<|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值”． [想一想] 1．双曲线中的a，b，c的关系与椭圆中的关系一样吗？ 提示：不一样，双曲线中为c2＝a2＋b2，椭圆中为c2＝a2－b2. [练一练] 2．动点P到点M(1,0)及点N(5,0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 解析：由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2<4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线． 答案：C 3．已知双曲线的焦距为26，＝，则双曲线的标准方程是________． 解析：由2c＝26，∴c＝13. 又＝，∴a2＝25. ∴b2＝c2－a2＝132－25＝144. ∴所求方程为－＝1或－＝1. 答案：－＝1或－＝1 授课提示：对应学生用书第41页 探究一　求双曲线的标准方程 [典例1]　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P(3，)，Q(－，5)； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． [解析]　(1)解法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 由于点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上， 所以解得(舍去) 若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将P、Q两点坐标代入可得 解之得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 解法二　设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)． ∵P、Q两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)解法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 依题设有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 解法二　∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)． ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. 1．若已知a，b的值，直接将其代入双曲线方程即可；若已知a，c或b，c的值，利用a2＋b2＝c2求出b2或a2，再代入双曲线的方程． 2．若已知a，b，c中的一个量及双曲线上一个点的坐标，则设出双曲线的标准方程，由a2＋b2＝c2得到a2，b2的一个关系式，再将点的坐标代入双曲线方程，得到a2，b2的第二个关系式，联立可解． 上述两种情况中，若根据已知条件不能确定焦点所在的轴，需注意双曲线的方程可能有两种形式． 3．若已知双曲线上两点的坐标，不确定焦点所在的轴，需分别设出双曲线的两种方程，将两点的坐标代入，分别求a2，b2的值．为避免烦琐，也可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，待定出A，B的值． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知双曲线过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程． 解析：解法一　若焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上， ∴解得 若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为 －＝1(a>0，b>0)． 同理有解得(舍去) ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 解法二　设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得 解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 2．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，c＝5，焦点在x轴上； (2)a＝4，经过点A(1，)． 解析：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为a＝4，c＝