3.3.2 双曲线的简单性质（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

3．2　双曲线的简单性质 授课提示：对应学生用书第43页 　双曲线的几何性质 类型[来源:Zxxk.Com] －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c,0)，(c,0) (0，c)，(0，－c) 焦距 2c 范围 x∈(－∞，－a]∪[a，＋∞) y∈(－∞，－a]∪[a，＋∞) 对称性 关于x轴，y轴，原点对称 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，a)，(0，－a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝>1 渐近线 y＝±x y＝±x [疑难提示] 　双曲线的渐近线与双曲线的方程之间的关系 (1)双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． (2)双曲线确定时，渐近线唯一确定，渐近线确定时，双曲线并不唯一确定． (3)若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决． ①分两种情况设出方程进行讨论． ②依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． [想一想] 1．双曲线的离心率对双曲线有何影响？ 提示：e＝，e>1，它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大． (1)离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小．∵＝ ＝， ∴e越大，越大，∴双曲线开口越大． (2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e＝. [练一练] 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　 B．2　　　　 C．4　　　　 D．4 解析：∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4. 答案：C 3．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________． 解析：－＝1(b>0)的渐近线为y＝±bx，由题意知b＝，∴b＝1. 答案：1 授课提示：对应学生用书第44页 探究一　由双曲线方程研究其几何性质 [典例1]　求双曲线9y2－16x2＝144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程、离心率． [解析]　双曲线方程可化为－＝1. 因为a＝4，b＝3，c2＝a2＋b2＝25，所以c＝5. 所以实轴长2a＝8；虚轴长2b＝6；焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；渐近线方程为y＝±x；离心率e＝＝. 根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率． 双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置(x轴、y轴)有关． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的虚轴长为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．6 C．9 D．12 解析：因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，故b2＝c2－a2＝9，所以虚轴长为2b＝6. 答案：B 2．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 解析：将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，即－＝1.∴a＝1，b＝2，c＝. 因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－，0)，F2(，0)；实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2；离心率e＝＝＝； 渐近线方程为y＝±x＝±2x，草图如图所示． 探究二　由双曲线的几何性质求标准方程 [典例2]　根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)过P(3，－)，离心率为； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝； (3)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，又离心率为2； (4)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)． [解析]　(1)若双曲线的焦点在x轴上， 设为－＝1(a>0，b>0)． ∵e＝，∴＝2，即a2＝b2.① 又过点P(3，－)，有－＝1，② 由①②得a2＝b2＝4， ∴双曲线方程为－＝1. 若双曲线的焦点在y轴上，设为－＝1(a>0，b>0)． 同理有a2＝b2③ －＝1④ 由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)． 综上，双曲线的标准方程为－＝1. (2)由椭圆方程＋＝1， 知长半轴a