第二章 章末总结与测试（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 章末优化总结 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 网络体系构建 专题归纳整合 章末检测 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 专题一　空间向量与空间位置关系 向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合，给立体几何的研究带来了极大的方便，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系是常用方法． 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 [解析]　在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下： 设正方体的棱长为1，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 依题意，得A1(0,0,1)，B(1,0,0)，E(0,1，eq \f(1,2))，eq \o(BA1,\s\up13(→))＝(－1，0,1)，eq \o(BE,\s\up13(→))＝(－1,1，eq \f(1,2))．设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·eq \o(BA1,\s\up13(→))＝0，n·eq \o(BE,\s\up13(→))＝0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－x＋y＋\f(1,2)z＝0.))所以x＝z，y＝eq \f(1,2)z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．又B1(1,0,1)，所以eq \o(B1F,\s\up13(→))＝(t－1,1,0)．而 B1F平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔eq \o(B1F,\s\up13(→))·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝eq \f(1,2)⇔F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE. 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 专题二　空间向量与空间角 求空间角是一个重要的知识点，是高考必考的知识点，常见的空间角有：线线角、线面角、面面角．处理这类问题的常规方法是：将空间角转化为平面角，使已知量及所求角转化到同一三角形中，利用直角三角形或余弦定理来求解，而转化为平面角通常要根据三垂线定理等来实现，灵活性强，难度大．采用向量方法则较为固定，减少了思维量，但增大了运算量，要注意运算的准确性． 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 　如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角A­PB­C的余弦值． 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq \r(3)AD. 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，且AD∩PD＝D. 所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD. 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 (2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­xyz. 则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，0))，B(0，eq \r(3)，0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\r(3)，0))，P(0，0,1).eq \o(AB,\s\up13(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，eq \o(PB,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(3)，－1))，eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，0)). 北师数学·选修2-1 返回导航 下页 上页 设平面PAB的法向量为n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y，z))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up13(→))＝0，,n·\o(PB,\s\up13(→))＝0.)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)y＝0，,