1.4.2 空间图形的公理4和等角定理（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

第2课时　空间图形的公理4和等角定理 考　纲　定　位 重　难　突　破 1.了解公理4及等角定理． 2.会用公理4和等角定理进行简单的推理论证． 3.了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角. 重点：公理4和等角定理的应用． 难点：异面直线所成的角的定义及求法． 疑点：异面直线所成角的范围易出错. [来源:学。科。网Z。X。X。K] 授课提示：对应学生用书第11页 [自主梳理] 一、公理4 文字语言 图形表示 符号语言 平行于同一条直线的两条直线平行 若a∥b，b∥c，则a∥c 二、等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 三、异面直线所成的角θ 1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线l1∥a，l2∥b，我们把l1与l2所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)． 2．范围：0°＜θ≤90°. 3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. [双基自测] 1．两条异面直线是指(　　) A．分别位于两个不同平面的直线 B．空间内不相交的直线 C．某一平面内的一条直线与这一平面外的一条直线 D．空间两条既不平行也不相交的直线 解析：根据异面直线的定义可知D正确． 答案：D 2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝50°，则β等于(　　) A．50°　　　　　　　 B．130° C．40° D．50°或130° 解析：由等角定理可以判断β与α相等，∴α＝β＝50°，选A. 答案：A 3．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与D1C的位置关系是________； (4)直线AB与B1C的位置关系是________． 答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为________度． 解析：连接AD1，B1D1，∵AB綊D1C1，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，由题意知，AB1＝B1D1＝AD1，即△AB1D1为等边三角形，所以∠D1AB1＝60°. 答案：60 授课提示：对应学生用书第12页 探究一　公理4的应用 [典例1]　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. [解析]　(1)如题图，在△ABD中， ∵EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH＝BD. 又FG是△CBD的中位线， ∴FG∥BD，FG＝BD， ∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH， ∴四边形EFGH是平行四边形． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形， ∴EH⊥GH，∴AC⊥BD. 空间中证明两直线平行的方法 (1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等． (2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行． 1.已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点． 求证：四边形MNA′C′是梯形． 证明：连接AC. ∵M，N为CD，AD的中点， ∴MN綊AC. 由正方体性质可知AC綊A′C′， ∴MN綊A′C′. ∴四边形MNA′C′是梯形． 探究二　等角定理的应用 [典例2]　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证： (1)四边形BB1M1M为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1. [证明]　(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点， ∴MM1＝AA1，MM1∥AA1， 又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1，且MM1∥BB1. ∴四边形BB1M1M为平行四边形． (2)证法一　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 证法二　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形． ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 1．要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可． 2．空间中证明两个角相等，可以利用等角