第一章　立体几何初步 章末总结与测试（课件+作业）-2019-2020学年高中数学必修二【优化探究】同步导学案（北师大版）

北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 章末优化总结 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 网络 体系构建 专题 归纳整合 章末检测(一) 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 专题一　三视图与直观图的应用 三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，为了使空间图形的直观图更能直观、准确地反映空间图形的大小，往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影，然后把这些投影放在同一个平面内，并有机结合起来表示物体的形状和大小，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高． 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 (1)求异面直线PD与AE所成角的余弦值； (2)求证：EF⊥平面PBC； (3)求三棱锥B­AEF的体积． 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)依题意知，该多面体是底面为正方形的四棱锥，且PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，如图所示，取BD的中点O，连接EO，则EO∥PD，所以EO⊥底面ABCD，EO＝eq \f(a,2)，所以∠AEO即为异面直线PD与AE所成的角．在Rt△AOE中，OE＝eq \f(a,2)，AO＝eq \f(\r(2),2)a，AE＝eq \r(OE2＋AO2)＝eq \f(\r(3),2)a.所以cos∠AEO＝eq \f(OE,AE)＝eq \f(\f(a,2),\f(\r(3),2)a)＝eq \f(\r(3),3).即异面直线PD与AE所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3). 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 (2)证明：取PC的中点G，连接EF，EG，GD，则EG綊eq \f(1,2)BC，所以GE綊DF.由(1)知FD⊥平面PDC，DG平面PDC，所以FD⊥DG，所以四边形FEGD为矩形．因为G为等腰Rt△PDC的斜边PC的中点，所以DG⊥PC，又因为DG⊥GE，PC∩EG＝G，所以DG⊥平面PBC.因为DG∥EF，所以EF⊥平面PBC. (3)VB­AEF＝VE­ABF＝eq \f(1,3)S△ABF·OE＝eq \f(1,3)·eq \f(1,4)a2·eq \f(1,2)a＝eq \f(1,24)a3. 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　) A．5π＋18　　　B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 解析：由三视图，可得该几何体是一个组合体，左右两端是半径为1的半球，中间部分为底面半径为1，高为3的半个圆柱，故该几何体的表面积S＝4π×12＋eq \f(1,2)×(2π×1)×3＋2×3＋2×(eq \f(1,2)×π×12)＝8π＋6，故选C. 答案：C 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 专题二　几何体的表面积与体积的计算 1．空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载体与球进行交汇考查，或蕴含在两个几何体的“接”或“切”形态中，以小题形式出现，属低中档题． 2．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在． 3．由几何体的三视图求表面积或体积时，要注意主视图的高是几何体的高，但不一定是侧面的高． 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 4．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法： (1)根据给出的三视图确定该几何体，并画出直观图； (2)由三视图中的大小标志确定该几何体的各个度量； (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解． 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 A.eq \f(\r(2),3)　　　　B.eq \f(\r(3),3)　　　C.eq \f(4,3)　　　D.eq \f(3,2) 北师大版数学·必修2 返回导航 下页 上页 [解析]　如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得DM⊥EF，CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积为VABCDEF＝VAMD­BNC＋VE­AMD＋VF­BNC.由题易得MN＝1，NF＝eq \f(1,2)，BF＝1，∴BN＝eq \f(\r(3),2). 作NH垂直BC于点H，则H为BC的中点，则NH＝eq \f(\r(2),2).∴S△BNC＝eq \f(1,2)·BC·NH＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4). ∴VF­BNC＝eq \f(1,3)·S△