启慧·湖南省衡阳市第八中学2020届高三月考试题（三）数学理科（PDF版）

启慧·衡阳市八中 ２０２０ 届高三月考试题（ 三） 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 题　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　 案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｂ １􀆰 【答案】Ｄ 【解析】注意集合中的元素的互异性 􀆰 ２􀆰 【答案】Ｂ ３􀆰 【答案】Ｃ 【解析】 ｚ ＝ １ ３ ＋ ４ｉ ＝ ３ － ４ｉ ２５ ＝ ３ ２５ － ４ ２５ ｉ ，所以 ｚ 的实部为 ３ ２５ ，虚部为 － ４ ２５ ， ｚ 的共轭复数为 ３ ２５ ＋ ４ ２５ ｉ ，模为 （ ３ ２５ ） ２ ＋ （ ４ ２５ ） ２ ＝ １ ５ ，故选 Ｃ􀆰 ４􀆰 【答案】Ｂ 【解析】Ａ 中，∀ｘ∈Ｒ，ｅｘ ＞ ０􀆰 Ｂ 中，∃ｘ ＝ ２，ｘ ＝ ４，２ｘ ＝ ｘ２ ，∃ｘ，２ｘ ＜ ｘ２􀆰 Ｃ 中， ａ ＋ ｂ ＝ ０ ｂ≠０{ 的充要条件是 ａ ｂ ＝ － １􀆰 Ｄ 中，ａ ＞ １，ｂ ＞ １ 可以得到 ａｂ ＞ １，当 ａｂ ＞ １ 时，不一定可以得到 ａ ＞ １，ｂ ＞ １􀆰 ５􀆰 【答案】Ａ 【解析】原式 ＝ １ ＋ ｔａｎ １７° ＋ ｔａｎ ２８° ＋ ｔａｎ １７°·ｔａｎ ２８° ＝ １ ＋ ｔａｎ ４５°（１ － ｔａｎ １７°·ｔａｎ ２８°） ＋ ｔａｎ １７°·ｔａｎ ２８° ＝ １ ＋ １ ＝ ２􀆰 故选 Ａ􀆰 ６􀆰 【答案】Ｃ 【解析】数列｛ａｎ｝的前 ｎ 项和 Ｓｎ ＝ ２ ｎ － １，可得 ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ － １ ＝ １； 当 ｎ≥２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ ｎ － １ － （２ｎ － １ － １） ＝ ２ｎ － １ ，对 ｎ ＝ １ 也成立 􀆰 所以 ａｎ ＝ ２ ｎ － １ （ｎ∈Ｎ∗） ｌｏｇ２ａｎ ＝ ｌｏｇ２２ ｎ － １ ＝ ｎ － １， 则数列｛ｌｏｇ２ａｎ｝的前 １１ 项和等于 ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ … ＋ ９ ＋ １０ ＝ １ ２ × （１ ＋ １０） × １０ ＝ ５５􀆰 故选 Ｃ􀆰 ７􀆰 【答案】Ｃ 【解析】由题意可知椭圆是焦点在 ｘ 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到｜ＢＦ２ ｜ ＋ ｜ＡＦ２ ｜ ＝８ － ｜ＡＢ ｜，再 由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当 ＡＢ 垂直于 ｘ 轴时 ｜ ＡＢ ｜ 最小，把 ｜ ＡＢ ｜ 的最小值 ｂ２ 代入 ｜ ＢＦ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ２ ｜ ＝ ８ － ｜ ＡＢ ｜ ，由 ｜ ＢＦ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ２ ｜ 的最大值等于 ５ 可求 ｂ 的值． 【详解】由 ０ ＜ ｂ ＜ ２ 可知，焦点在 ｘ 轴上，∴ ａ ＝ ２， ∵ 过 Ｆ１ 的直线 ｌ 交椭圆于 Ａ，Ｂ 两点，∴ ｜ ＢＦ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ２ ｜ ＋ ｜ ＢＦ１ ｜ ＋ ｜ ＡＦ１ ｜ ＝ ２ａ ＋ ２ａ ＝ ４ａ ＝ ８ ∴ ｜ ＢＦ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ２ ｜ ＝ ８ － ｜ ＡＢ ｜ ． １ 当 ＡＢ 垂直 ｘ 轴时 ｜ ＡＢ ｜ 最小，｜ ＢＦ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ２ ｜ 值最大， 此时 ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ｂ ２ ａ ＝ ｂ２ ，∴ ５ ＝ ８ － ｂ２ ，解得 ｂ ＝ ３，故选 Ｃ􀆰 ８􀆰 【答案】Ｄ 【解析】结合三角函数平移原理，得到 ｇ（ｘ）的解析式，计算结果，即可 􀆰 【详解】化简，得到 ｆ（ｘ） ＝ ２ｓｉｎ（２ｘ － π ６ ），根据三角函数平移性质可知，当将 ｆ（ｘ）的图像上的 所有点的横坐标缩短到原来的 １ ２ ，纵坐标保持不变，得到函数解析式为 ｆ（ｘ） ＝ ２ｓｉｎ（４ｘ － π ６ ），当把所得图像向上平移 １ 个单位长度，得到 ｇ（ｘ） ＝ ２ｓｉｎ（４ｘ － π ６ ） ＋ １，故 ｇ（ｘ） ｍａｘ ＝ ３， 要使得 ｇ（ｘ１ ）·ｇ（ｘ２ ） ＝ ９，则要求 ｘ１ － ｘ２ ＝ ｎＴ ＝ ｎ· ２π ｗ ＝ ｎ· π ２ ，故选 Ｄ􀆰 ９􀆰 【答案】Ａ 【解析】如 ｘ 为有理数，则 ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ｆ（１） ＝ １，如 ｘ 为无理数，ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ｆ（０） ＝ １，故①正确； 如 ｘ 为有理数，则 － ｘ 为有理数，则ｆ（ － ｘ） ＝ １ ＝ ｆ（ ｘ），如 ｘ 无有理数，则 － ｘ 为无理数，则 ｆ（ － ｘ） ＝ ０ ＝ ｆ（ｘ），故②正确；如 ｘ 为有理数，则 Ｔ ＋ ｘ 为有理数，则 ｆ（Ｔ ＋ ｘ） ＝ １ ＝ ｆ（ｘ），如 ｘ 无有理数，则 Ｔ ＋ ｘ 为无理数，则 ｆ（Ｔ ＋ ｘ） ＝ １ ＝ ｆ（ｘ），故③正确，令 ｘ１ ＝ － ３ ３ ，ｘ２ ＝ ３ ３ ，ｘ３ ＝ ０， 则 ｆ（ｘ１ ） ＝ ｆ（ｘ２ ） ＝ ０，ｆ（ｘ３ ） ＝