第四章 相似三角形（提升版）-2019-2020学年九年级数学上学期单元分层复习导学案（北师大版）

第四章 相似三角形单元分层复习导学案（提升版） 一、知识梳理，重点引领 1、基本模型一——“K型”相似（一线三等角） 如图1， △ ∽△ ； 特别的，如图2，△ ∽△ ； 如图3，特别地，当D是BC中点时：∽∽ ED平分， FD平分. 2、基本模型二——旋转相似基本图形 已知基本图中AB∥CD，则图1中，△ ∽△ ；图2中△ ∽△ . 二、例、变、拓——复习目标导学 导学目标1 “K型”相似（一线三等角）及其应用 例1 （2018•聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（　　 ） A．（， ） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，） 变式1 如图，等边中，D是边BC上的一点，且，把折叠，使点A落在BC边上的点D处．那么的值为　　　　． 拓展1如图，已知中，，，O是AB的中点，将角的顶点置于点O， 并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接DE. （1）求证∽； （2）设，试用关于x的式子表示DE. 【方法技巧点拨一】 例1中的△A1OM∽△OC1N，变式1中的△BDM∽△CND，拓展1中△AOD∽△BEO， 总结看来其实都是一线三等角下的直观结论，而问题后续的解决也正是利用了上述三角形相似之后，才得以顺利展开的，所以在用三角形相似的知识解决问题时，要特别注意观察分析是否符合相似三角形的相关模型. 导学目标2 “旋转型”相似及其应用 例2（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程） （2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB； （3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC： EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不 必写计算过程）；若无变化，请说明理由． 变式2 （2019•绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形 ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变 拓展2（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平 桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（　　） A． B． C． D． 【方法技巧点拨二】 旋转相似是由于其图形复杂，综合性强，解决问题时一般需用到旋转的性质、等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等，所以一直是学生学习比较头疼的内容，但解决问题时，只要抓住相似这一解决问题的密匙，熟练旋转的性质，就可以熟能生巧，化难为易，上述的三个问题也较好的体现了这一点. 导学目标3 与相似三角形有关的综合问题 例3（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D 在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 变式3（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论： A △BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 拓展3 （2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【方法技巧点拨三】 对于相似三角形的综合问题，由于它契合的知识点多，题型和分析解决问题的思路丰富多变、灵活性强，一般难度较大. 解决这类问题需要加强对所学知识的前后联系，能灵活运用全等、相似、勾股定理等常规数学方法，并结合数形结合、方程、函数、转化等数学思想，进行多方位的分析思考，很能体现学生的数学思维水平和数学学习能力，所以对于