专题2.5 指数与指数函数（讲）-2020年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

2020年高考数学一轮复习讲练测 第05讲 指数与指数函数——讲 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识点一：根式与指数幂的运算 1． 2. 有理数指数幂的运算性质: ① EMBED Equation.DSMT4 ; ② EMBED Equation.DSMT4 ; ③ EMBED Equation.DSMT4 . 知识点二：指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x>0时，y>1； x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 在区间(－∞，＋∞)上是增函数 在区间(－∞，＋∞)上是减函数 考点一：根式与指数幂的运算 【典例1】（2018·上海高考真题）已知常数，函数的图象经过点，．若，则______． 【变式1】（2011·山东高考真题（理））若点 在函数 的图象上，则 的值为_____ 【思想方法】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点二：指数函数的图像及应用 【典例2】已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________． 【变式2】（2019·山东高考模拟（文））已知函数 且 恒过定点 则 _________． [由题悟法] 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 考点三： 指数函数的性质及应用 角度一：比较指数式的大小 【典例1】（2019·安徽高考模拟（理））1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机 年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念 之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究 研究方法如下：对于正整数 ， ，我们准备 张不同的卡片，其中写有数字0，1，…， 的卡片各有 张 如果用这些卡片表示 位 进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示 个不同的整数 例如 ， 时，我们可以表示出 共 个不同的整数 假设卡片的总数 为一个定值，那么 进制的效率最高则意味着 张卡片所表示的不同整数的个数 最大 根据上述研究方法，几进制的效率最高？ 【变式1】（2019·天津高考真题（理））已知 ， ， ，则 的大小关系为_______ 角度二：解简单指数方程或不等式 【典例2】（2015·江苏高考真题）不等式 的解集为________. 【变式2】（2015·全国高考真题（文））已知函数，且，则___ 角度三：探究指数型函数的性质 【典例3】（2013·全国高考真题（文））若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是____ 【变式3】（2015·山东高考真题（理））（2015高考山东，理14）已知函数的定义域和值域都是，则 . [通法在握] 应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略 题型 求解策略 比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小 解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 探究指数型函数的性质 与探究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致 [提醒]　在探究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论． $$ 2020年高考数学一轮复习讲练测 第05讲 指数与指数函数——讲 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，