专题13 三角函数-2019中考数学新观察（A版）

专题十三　三角函数 专题讲练１　三角函数与解直角三角形 　　熟记一些特殊角的三角函数值,将问题转化到直角三角形中解决,如作高线等． 【例１】(２０１８􀅰天津)cos３０°的值等于(　B　)． A． ２ ２ B． ３ ２ C．１ D．３ 【例２】(２０１８􀅰宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点P,A 的距离,可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C,测得PC＝１００米,∠PCA＝３５°,则小河宽PA 等于(　C　)． A．１００sin３５°米　　 B．１００sin５５°米 C．１００tan３５°米　　 D．１００tan５５°米 考点一:特殊角的三角函数值 １．计算:sin４５°＝　 ２２　 ;　　　cos３０°＝　 ３２　 ;　　　tan３０°＝　 ３３　 ;　　　tan４５°＝　１　; sin３０°＝　 １２　 ;　　　cos６０°＝　 １２　 ;　　　sin６０°＝　 ３２　 ;　　　tan６０°＝　 ３　􀆰 考点二:三角函数值的应用 ２．(２０１８􀅰重庆)如图,AB 是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B 出 发,先沿水平方向向右行走２０米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i＝１:０． ７５、坡长为１０米的斜坡CD 到达点D,然后再沿水平方向向右行走４０米到达点E (A,B,C,D,E 均在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为２４°,则建筑 物AB 的高度约为(参考数据:sin２４°≈０．４１,cos２４°≈０．９１,tan２４°＝０．４５)(　A　)． A．２１．７米 B．２２．４米 C．２７．４米 D．２８．８米 ３．(２０１８􀅰连云港)如图１,水坝的横截面是梯形ABCD,∠ABC＝３７°,坝顶DC＝３m,背水坡AD 的坡度i (即tan∠DAB)为１:０．５,坝底AB＝１４m． (１)求坝高; (２)如图２,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底间时拓宽加固,使得 AE＝２DF,EF⊥BF,求DF 的长．(参考数据:sin３７°≈ ３５ ,cos３７°≈ ４５ ,tan３７°≈ ３４ ) 图１ 　　　　　　　　 图２ 【解析】(１)６; (２)作FH⊥AB 于 H．设 DF＝y,则 AE＝２y,EH ＝３＋２y－y＝３＋y,BH ＝１４＋２y－(３＋y)＝１１＋y,由△EFH ∽ △FBH,可得 HFHB ＝ EH FH ,即 ６ １１＋y＝ ３＋y ６ ,解得y＝－７＋２ １３ 或－７－２ １３(舍),∴DF＝２ １３－７,故DF 的 长为(２ １３ －７)m． ６６ 专题讲练２　三角函数与几何结合(一) 　　将三角函数转化为线段的比,结合勾股定理与相似进行计算． 【例】如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC 于E,AB＝５,BC＝８,sinB＝ ４ ５ ,求tan∠CDE 的值． 【解析】sinB＝ AE AB ＝ ４ ５ ,AE＝４,BE＝３,∴CE＝５,∴CE＝CD,∴∠CDE＝∠CED＝ ∠ADE,tan∠CDE＝tan∠ADE＝ １ ２ １．如图,AB＝９,AC＝６,cos∠BAC＝ １ ３ ,AE⊥BC 于E,求AE 的长． 【解析】作BH⊥AC,BC＝９,由面积法知AE＝４ ２． ２．如图,在△ABC 中,sinB＝ ４ ５ ,sinC＝ ２ ３ ,AB＝１０,求AC 的长． 【解析】AC＝１２． ３．如图,点E 为矩形ABCD 的边CD 上一点,沿AE 折叠矩形ABCD,使点D 落在BC 边的点F 处．如图,若 AD＝１０,CD＝８．求tan∠EFC． 【解析】易知BF＝６,CF＝４,设DE＝FE＝x.(８－x)２＋４２＝x２, ∴x＝５,tan∠EFC＝ ３ ４． ４．如图,等腰直角△ACB,∠C＝９０°,点F 为BC 的中点,点E 在AC 上,且AC＝４AE,BE、AF 相交于D 点,求tan∠BDF． 【解析】过 B 点 作BG∥AC 交 AF 的 延 长 线 于G(中 线 倍 长),易 证 △ACF≌ △BGF,AC＝BG,易证△ADE∽△BDG, DE BD ＝ １ ４ ,设 AC＝４x＝BC,CE ＝３x,∴BE＝５x,∴DE＝x,BD＝４x＝BG,∴ ∠BDF＝ ∠G　 ∴tan ∠BDF＝ １ ２． 【点评】中线倍长是几何常规方法,可转换图形线段与角构造全等相似三角形． ６７ 专题讲练３　三角函数与几何结合(二) 　　将三角函数转化为线段的比,结合勾股定理与相似进行计算． 【例】如图,正方形ABCD 中,M 为DC 的中点,N 为BC 上一点,BN＝３CN,求tan∠MAN 的值． 【解析】连 MN,易证△ADM∽△MCN,知∠AMN＝９０°, ∴tan∠MAN＝ MN AM ＝ CM AD＝ １ ２． １．(２０１７􀅰鄂州