专题15 圆的证明与计算-2019中考数学新观察（A版）

专题十五　圆的证明与计算 专题讲练１　圆的计算(一)———直接运用勾股定理 　　常连圆心与切点得直角,结合题意用勾股定理． 【例】如图∠C＝９０°,AC＝６,BC＝８,☉O 切两直角边于E、F,交 AB 于G、D,☉O 的半径为３,求GD 的长． 【解析】连 OE、OF,过 O 点作OM ⊥AB 于 M ,由面积法可得 OM ＝ ３ ５ , ∴GD＝２ ３２－ ３ ５( ) ２ ＝ １２ ５ ６． １．(２０１８􀅰铜仁)如图,在△ABC 中,AB＝６,AC＝BC＝５,以 BC 为直径作☉O 交AB 于点D,交 AC 于点 G,直线 DF 是☉O 的切线,D 为切点,交CB 的延长线于点E． (１)求证:DF⊥AC; (２)求tan∠E 的值． 【解析】(１)连接 OD,证 OD∥AC; (２)连接 BG,∴EF∥BG,∴∠CBG＝∠E,Rt△BDC 中,∵BD＝３,BC＝５,∴CD＝ ４,S△ABC ＝ １ ２ AB􀅰CD＝ １ ２ AC􀅰BG,６×４＝５BG,BG＝ ２４ ５ ,由 勾 股 定 理 得:CG＝ ５２－( ２４ ５ )２ ＝ ７ ５ ,∴tan∠CBG＝tan∠E＝ CG BG ＝ ７ ５ ２４ ５ ＝ ７ ２４ ． ２．(２０１８􀅰昆明)如图,AB 是☉O 的直径,ED 切☉O 于点C,AD 交☉O 于点F,AC 平分∠BAD,连接BE． (１)求证:AD⊥ED; (２)若CD＝４,AF＝２,求☉O 的半径． 【解析】(１)连接 OC,证 OC∥AD 即可; (２)OC 交BF 于 H ,易得四边形CDFH 为矩形,∴FH ＝CD＝４,∠CHF＝９０°, ∴OH ⊥BF,∴BH ＝FH ＝４,∴BF＝８,在 Rt△ABF 中,AB＝ AF２＋BF２ ＝ ２２＋８２ ＝２ １７,∴☉O 的半径为 １７． ３．(２０１７􀅰宿迁)如图,AB 与☉O 相切于点B,BC 为☉O 的弦,OC⊥OA,OA 与BC 相交于点P． (１)求证:AP＝AB; (２)若OB＝４,AB＝３,求线段BP 的长． 【解析】(１)∠ABP ＋ ∠OBC ＝９０°,∴ ∠OCB ＋ ∠CPO ＝９０°,∵ ∠APB ＝ ∠CPO,∴ ∠APB ＝ ∠ABP,∴AP＝AB; (２)作OH ⊥BC 于 H ,OA＝５,∵AP＝AB＝３,∴PO＝２,PC＝ OC２＋OP２ ＝２ ５,∵ １ ２ PC􀅰OH ＝ １ ２ OC􀅰OP,∴OH ＝ OP􀅰OC PC ＝ ４ ５ ５ ,∴CH ＝ OC２－OH２ ＝ ８ ５ ５ ,∵OH ⊥BC,∴CH ＝BH ,∴BC＝２CH ＝ １６ ５ ５ ,∴BP＝BC－PC＝ １６ ５ ５ －２ ５＝ ６ ５ ５ ． ８１ 专题讲练２　圆的计算(二)———运用勾股定理列方程 　　结合切线的性质定理与垂径定理与切线长定理,设未知数列方程求解． 【例】如图,在正方形 ABCD 中,以BC 为直径作☉O,DE 为☉O 的切线,切点为E,交 AB 于点F, 求tan∠DAE 的值． 【解析】设 BC＝４,BF＝x,则在△ADF 中(４－x)２＋４２＝(４＋x)２,x＝１,过 D 作DM ⊥AE 交AF 于 M ,易求 EM ＝AM ＝ ４ ３ ,∴tan∠DAE＝３． １．(２０１８􀅰南通)如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,AD 和过点C 的切线互相垂直,垂足为 D,且交 ☉O 于点E．连接OC,BE,相交于点F． (１)求证:EF＝BF; (２)若 DC＝４,DE＝２,求直径 AB 的长． 【解析】(１)可证四边形CDEF 是矩形,∴OC⊥EB,EF＝FB． (２)由(１)得 DC＝EF＝FB＝４,CF＝DE＝２,设 半 径 为r,则 OF＝r－２,∴r２＝４２＋(r－ ２)２,解得r＝５,∴AB＝１０． ２．(２０１７􀅰武汉􀅰元调)如图,在Rt△ABC 中,∠BAC＝９０°,BD 是角平分线,以点 D 为圆心,DA 为半径的 ☉D 与AC 交于点E． (１)求证:BC 是☉D 的切线; (２)若 AB＝５,BC＝１３,求CE 的长． 【解析】(１)作 DF⊥BC 于F,易证 DA＝DF,∴BC 是☉D 的切线; (２)易 证 AB ＝５＝BF,∴CF ＝８,设 AD ＝ DE ＝ DF ＝R．∵AC ＝ BC２－AB２ ＝１２,∴CD＝１２－R,在 △DFC 中,R２ ＋８２ ＝(１２－R)２, R＝ １０ ３ ,∴CE＝１２－２R＝ １６ ３ ． ３．如图,☉O 与直线l 相切于点A,点 P 是☉O 上一点,过点 P 作直线l 的垂线,垂足为C,PC 交☉O 于D, AC＝２,CD＝１,求 PA 的长． 【解析】过 O 作OM ⊥PC 于 M ,连 OA,OD,R２＝２２＋