专题16 圆中的常规图形拓展与变式-2019中考数学新观察（A版）

专题十六　圆中的常规图形拓展与变式 专题讲练１　圆中的基本图形分析(一)———垂切图 　　知切线,连切点,得直角,构造矩形转换线段． 【例】如图,AB 是☉O 的直径,AD 是弦,CE 切☉O 于点C,交AD 的延长线于E,且CE⊥AE,若AB＝１０, AE＝６,求CD 的长． 【解析】连OC,作OF⊥AD 于F,易证四边形OCEF 为矩形,∴CE＝OF,OC＝ EF＝５,∴AF＝１ ＝DF,∴DE＝４,又OF＝ OA２－AF２ ＝２ ６,∴CD＝ DE２＋CE２ ＝２ １０． 一、运用角等弧等结合勾股定理计算 变式１．如图,AB 是☉O 的直径,点C、D 是☉O 上的两点,AC 平分∠BAD,CE⊥AD 交AD 延长线于E, CF⊥AB 于F,若DE＝２,FO＝３,求CF 的长． 【解析】CE＝CF,CD＝CB,∴△CDE≌△CBF,∴DE＝BF＝２,∴OC＝OB＝FO＋BF＝５, ∴CF＝ OC２－FO２ ＝４． 变式２．如图,已知点C、D 在以AB 为直径的☉O 上,CE 是☉O 切线,AD⊥CE 于E, 连AC,连CD,若CD＝６,AC＝８,求☉O 的半径． 【解析】CB＝CD＝６,∴AB＝ AC２＋BC２ ＝１０,∴☉O 的半径为５． 二、过圆心作垂线构矩形 变式３．如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,AD 和过点C 的切线互相垂直,垂足为D,AD 交☉O 于 E,若DE＝１,CD＝２． (１)求☉O 的半径; (２)求tan∠ABE 的值． 【解析】(１)连BE 交OC 于F,则DE＝CF＝１,DC＝EF＝FB＝２,设☉O 半径为R,在△OBF 中,(R－ １)２＋２２＝R２,R＝ ５ ２ ; (２)由(１)知tan∠ABE＝ ３ ４． 变式４．如图,AB 是☉O 的直径,DC 切☉O 于点C,AD⊥DC,垂足为D,AD 交☉O 于点E,若cos∠DCE ＝ ４ ５ ,求BE AE 的值． 【解析】过O 作ON⊥AE 于N,设DC＝４,CE＝５,则 DE＝３,∴(R－３)２＋４２＝R２,R＝ ２５ ６ , ∴ BE AE＝ ２４ ７． ９１ 专题讲练２　圆中的基本图形分析(二)———穿心图 　　结合直径对直角及切线产生直角进行转换． 【例】如图,☉O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P,C 为切点,若∠P＝３０°,☉O 的半径为１,则PB 的长 为　１　． 【解析】连结OC,∵PC 为☉O 的切线,∴∠PCO＝９０°,在Rt△OCP 中,∵OC＝１,∠P＝ ３０°,∴OP＝２OC＝２,∴PB＝OP－OB＝２－１＝１． 变式１．(２０１８􀅰郴州)已知BC 是☉O 的直径,点D 是BC 延长线上一点,AB＝AD, AE 是☉O 的弦,∠AEC＝３０°． (１)求证:直线AD 是☉O 的切线; (２)若AE⊥BC,垂足为M,☉O 的半径为４,求AE 的长． 【解析】(１)连接OA,∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝９０°,∴直线 AD 是☉O 的切 线; (２)∴AE＝２AM＝４ ３． 变式２．如图,AB 是☉O 的直径,CD 与☉O 相切于点C,与AB 的延长线交于点D,DE⊥AD 且与AC 的延 长线交于点E． (１)求证:DC＝DE; (２)若AD＝２DE,AB＝３,求BD 的长． 【解析】(１)连OC,则∠OCD＝９０°,∴∠E＋∠A＝∠DCE＋∠OCA＝９０°,∠A＝∠OCA, ∴∠DCE＝∠E,∴DC＝DE; (２)设BD＝x,则 AD＝x＋３,∵AD＝２DE,∴DE＝ x＋３ ２ ＝CD ,在△OCD 中, (３ ２ )２＋( ３＋x ２ )２＝(x＋ ３ ２ )２,∴x＝１,∴BD＝１． 变式３．(２０１７􀅰西宁)如图,在△ABC 中,AB＝AC,以AB 为直径作☉O 交BC 于点D,过点D 作☉O 的切 线DE 交AC 于点E,交AB 延长线于点F． (１)求证:DE⊥AC; (２)若AB＝１０,AE＝８,求DF 的长． 【解析】(１)连接OD,证∠OBD＝∠ODB＝∠C,OD∥AC 即可; (２)作OG⊥AE 于G,则OD＝EG＝５,AG＝３,∴OG＝４＝DE,∵OD∥AE,∴ OD AE ＝ DF EF ,∴ ５ ８＝ DF DF＋４ ,∴DF＝ ２０ ３． ９２ 专题讲练３　圆中的基本图形分析(三)———垂弦图 　　由垂径定理产生相等的线段与相等的弧与其它条件结合实现问题的转化． 【例】如图,AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB 于E,∠CDB＝３０°,☉O 的半径为５, 求CD 的长． 【解析】５ ３． 变式１．如图,AB,CD 是☉O 的两条平行弦,MN 是AB 的垂直平分线,MN 交AB 于E,交CD 于F． (１)求证:MN 垂直平分CD; (２)连AF,AD,若AB: