第22章 二次函数（单元总结）-2019-2020学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第二十二章 二次函数 单元总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点1：二次函数的概念 概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 注意：二次项系数，而可以为零． 二次函数的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． （2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【典例分析】 1．下列函数是二次函数的是（ ） A．y=x（x+1） B．x2y=1 C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5 2．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 3．已知函数 为二次函数，求m的值． 知识点2：二次函数的图象和性质（重点） 二次函数的基本表现形式： ①；②；③；④；⑤. 第一种：二次函数的性质（最基础） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 第二种：二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 第三种：二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 第四种：二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 二次函数用配方法可化成： 的形式，其中. 二次函数图象的平移 平移步骤： · 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； · 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 【概括】左加右减，上加下减 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点） · 公式法：， ∴顶点是，对称轴是直线. · 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握） · 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． （1）当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； （2）当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． · 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． （1）在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）． （2）在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）． 【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． · 常数项 （1）当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； （2）当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； （3） 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 【典例分析】 4．（2019·沙雅县第二中学初三期中）函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ 　） A．y=﹣2（x﹣1）2+2 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 C．y=﹣2（x+1）2+2 D．y=﹣2（x+1）2﹣2 5.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 6．（2019·湖北省武汉一初慧泉中学初三月考）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A（－1 ，y1），B（2，y2），C（4，y3）在此函数图象上，则y1，y2与y3的大