基础数学 06 二次函数图像的平移与对称变换问题例析-《中学生数理化》高考版·自主招生 2019年9月刊（理化）

中学生数理化 基础数学障碍分析 自主招生2019年9月 二次函数图像的平移与对称变换问题例析 杨兴发 函数图像是由点构成的,函数图像位置平移或者关于y轴对称变换前后抛物线开 的变化,实质就是图像上点的位置的变化,而方向相同,a也就不变。因此,要想求出求变 坐标决定点的位置,因此,可以通过研究点的换后抛物线的解析式,就得先确定出变换前 变换与其坐标之间的变化来研究函数图像的抛物线的顶点坐标,再根据上面两条关于点 变换与其解析式的变化之间的关系。下面我的平移、对称变换与坐标变化之间的关系确 们通过点的平移、关于坐标轴或原点的对称定出变换后抛物线的顶点坐标;然后就可以 变换与坐标变化之间的关系来研究二次函数直接写出变换后抛物线的顶点式解析式。 图像的平移、关于坐标轴或原点的对称变换 (1)中抛物线的解析式是顶点式,可直接 与解析式的变化之间的关系 写出顶点坐标是(-2,-4),变换后的顶点坐 点P(x,υ)的平移、关于坐标轴或原点标是(1,一3),所得抛物线的解析式是y 的对称变换与坐标变化之间的关系如下 2(x-1)2-3。 1.点P(x,y)关于x轴的对称的点坐标 (2)(3)中的抛物线是一般式,可先化成 为(x,-y),关于y轴的对称的点坐标为顶点式或用顶点坐标公式求出顶点坐标是 (-x,y),关于原点的对称的点坐标为( (2,-4),(2)中变换后的顶点坐标是(-2 1),得到的解析式是y=(x+2)2+1。(3)中 2.点P(x,y)向右(左)平移m(m>0)个的抛物线变换后的顶点坐标分别为(2,4) 单位长度得到的点的坐标是P(x土m,y);向(-2,-4),(-2,4),解析式分别为y 上(下)平移n(n2>0)个单位长度得到的点的 (x-2)2+4,y=(x+2)2-4,y=-(x 坐标是P(x,y±n);既向右(左)平移m(m>2)2+4,也可以将结果化为一般式。 0)个单位长度,又向上(下)平移n(n>0)个单 例2(1)抛物线y=2(x+2)2-4能经 位长度得到的点的坐标是P(x±m,y±n) 过平移得到抛物线y=2(x+3)2+1吗?如 例1(1)抛物线y=2(x+2)2-4向右果能,应怎样平移? 平移3个单位长度,向上平移1个单位长度 (2)抛物线y=x2+4x与抛物线y 得到的抛物线的解析式是 x2+4x有怎样的关系? (2)抛物线y=x2-4x向左平移4个单 分析:(1)中两个抛物线的顶点坐标分别 位长度,向上平移5个单位长度得到的抛物为(-2,4),(-3,1),前者向左平移1个单 线的函数表达式是。 位长度,向上平移5个单位长度就可以得到 (3)抛物线y=x2-4x关于x轴对称的后者 抛物线的函数表达式是 关于y轴对称 (2)中两个抛物线的顶点坐标分别为 的抛物线的函数表达式是 关于原点对(-2,-4),(2,4),这两个点关于原点对称, 称的抛物线的函数表达式是 两个抛物线的解析式中的二次项系数只有符 分析:抛物线y=ax2+bx+c中,a的绝号不同,所以这两个抛物线关于原点对称。 对值决定抛物线的形状,a的正负决定抛物 由例1、例2可以看出,有关二次函数 线的开口方向,当a>0时抛物线开口向上,像平移、对称变换问题看似很复杂,但只要转 当a<0时抛物线开口向下。变换前后抛物化成二次函数顶点坐标的变换冋题,就很容 线的形状是保持不变的;关于x轴或者原点易解决。 对称的抛物线开口方向相反,a就变为-a 作者单位:甘肃省灵台县邵寨中学