基础数学 12 基本不等式求最值中“二定”的解法探究-《中学生数理化》高考版·自主招生 2019年9月刊（理化）

中学生数理化 基础数学我的学习发现 自主招生2019年9月 基本不等式求最值中“二定”的解法探究 ■侯贝林 不等式“ab≤2 2(a≥0,b≥0)”被称 用基本不等式求出最值。 方法三:常数代换法 为基本不等式,它的最主要作用是求最值 利用基本不等式求最值时必须满足三个条 例3已知x>0 件,即“一正,二定,三相等”。其中“一正”和2x+y的最小值 “三相等”较好把握,“二定”则是求最值过程 解法 因为 4,所以 中的“拦路虎”。下面对如何解决“二定”问题 进行一些方法总结 方法一:配凑法 例1求函数y=x·(1 勺最大值 +4)=2,当且仅当 解:因为0<x<所以0<1-2x<1。 即 y=1时,等号成立。故2x+y的 y=x·(1-2x)=2(2x)·(1-2x)≤最小值是 1「(2x)+(1-2x)721 当且仅当 方法点评:对于形如“已知 dx+ey的最值”的问题,通过把c配凑成 即 时,等号成立。故当 4“1”,并让所求的式子和“1”进行代换,从而减 少基本不等式使用的次数,达到“三相等”的 日的,可求出最值。 方法点评:对于形如“y=ax(bx+c)+ 方法四:消元法 d”类型的问题求最值时,通过配凑项的系数, 例3的解法二:因为 4,所以 可达到“积定和最小,和定积最大”的目的。 方法二:分离常数法 4x-1°因为x>0,y>0,所以y-4x 例2求y (x>3)的最小值 解:因为x>3,所以x-3>0。 3 1,且仅当x-3x=3,即x=5时,(4x-1)=2 3 时,等 号成立。故2x+y的最小值是2。 等号成立。故当x=5时,ym=11 方法点评:对于求解含有两个变量的最 方法点评:对于形如“y=4x2+bx+c值问题时,可以通过消元法把两个变量转化 dote (d!x+e≠0)”类型的问题求最值时,通过将分子 成一个变量,从而更有利于最值的求解 配方凑出含有分母的项,再将其分离,就可以利作者单位:江苏省徐州市撷秀中学高二(3)班