解题篇 01 集合与函数、基本初等函数中的误区警示-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

中学生理化用影错年类 集合与函数、基本初等函教中的 误区与警示/ ■刘大鸣(特级教师) 本文对集合与函数概念、基本初等函数 解得 或 经检 中的易错点进行归纳剖析,希望帮助大家突 破这些易错点,牢固掌握集合与函数知识,逐 步培养数学解题的思维模式 验可知 与元素的互异性矛盾 误区1:忽视集合中代表元素的特征 例1已知集合A={y|y=2x+1,x∈ 综上可得, 或 R},B={(x,y)|y=x2+1,x∈R}, 警示:求含参数的集合问题时,要依据集 合元素的“确定性,互异性,无序性”进行求 A.A∩B={(0,1),(2,5) 误区3:集合关系中忽视空集的讨论 C. BCA 例3已知集合A={x D.A∩B= 0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B, 错解:应选A或 求实数m的取值范围 剖析:忽视集合中代表元素的特征,将数 错解:由题意可得A={1,2}。由A∩B 集与点集混淆。 B,可得B=A,所以x=1或x=2是方程 正解:集合A是数集,集合B是点集,两 x2-mx+2=0的实根,故m=3。 个集合没有相同的元素,因此A∩B= 剖析:上述解法认为集合B={x|x2 应选D。 nx+2=0}中有两个元素,忽视了空集和两 警示:集合是由元素构成的,认识集合要 个相等实根的情形。 从认识元素开始,集合里的元素可以是数 正解:由题意可得A={1,2}。由A∩B 物、有序实数对、几何图形等。要认清集合的 =B,可得BA,所以集合B有三种情况, 代表元素和代表元素的属性。解答本题的关需要讨论求解 键是区分数集与点集 ①当B=时,由△=m2-8≤0,可得 误区2:忽视集合元素的无序性 例2已知集合A={1,4,a},B={1, 212<m<22 a2,b},若A=B,求实数a,b的值。 错解:由题意可得 1-m+2=0或4-2m+2=0,可知此时m 无解 1+2=m, 剖析:上述解法认为两个集合相等,即对 ③当B={1,2}时,由1×2=2 项相同,这显然违背了集合元素的无序性 △=m2-8>0, 正解:由A=B与集合元素的无序性,可得 得以下两种情形: 综上所述,m=3或-22<m<2/2 警示:解决有关A∩B=B,A∪B=A, A≌B等集合问题时,易忽视空集的情况而 解题篇·易错题归类剖析 高一使用2019年9 中学生数理化 出现漏解,同学们要引起重视。 剖析:集合{}不是空集,而是含有一个 误区4:忽视集合转化的等价性 空集为元素的集合。 例4已知集合A={xax2+2x+1 正解:由于集合A,B的子集中均有 单元素集合,求实数a的 即A,B,所以M∩N={}。应选 错解:集合A为单元素集合,即方程ax2B。 2x+1=0有两个相等的实根,所以△ 警示:由必是任何集合的子集,可得⑧≤ 4-4a=0,可得a=1。 {};由必是集合{}中的一个元素,可得必 剖析:上述解法认为所给方程为一元 ∈{⑧};由{}为非空集合,还可得实 次方程,忽视了对二次项系数的讨论。 }。 正解:当a≠0时,由△=4-4a=0,可得 误区7:忽视函数定义域的限制作用 例7求函数y= x+2的值 当a=0时,可得A 2,符合题意。域 故所求实数a=1或a=0 错解:因为-x2+x+2=-(x 警示:在进行集合转化时,要注意转化的 等价性,否则会产生增解或漏解 所以此函数的值域为 误区5:忽视补集思想的应用 例5已知集合P={x|ax+2>a},且 3∈P,求实数a的取值范围。 剖析:上述解法没有考虑函数的定义域 错解:不知道从其反面逆向思维,导致」 由-x2+x+2≥0,可得此函数的定义域为 法解决。 ∈[-1,2]。 剖析:从反面入手,利用元素与集合之间 正解:由-x2+x+2≥0,可得x∈ 的关系,构建不等式求解 1,2],则-x2+x+2 正解:由3∈P,可得3∈CRP,而CRP= x|ax+a≤a},则3a+2≤2,所以a≤ 故此函数的值域为0 故实数a的取值范围为( 警示:解决函数问题,应树立“定义域优 警示:已知全集U,若求其子集A有困先”的意识。 难,可先考虑求其补集CA,再利用C(CA) 误区8:忽视函数的两个变量之间的制 A的关系求出A,这种在正向思维受阻后 约关系 改用逆向思维的方法,就是数学中补集思想 例8若3x2+2y2=6x,求x2+y2的最 的应用 大值 误区6:忽视集合作为元素的两重性 例6设集合A∩B=,集合M={m 错解:由y2 x2+3x,可得x2+ m为A的子集},N={n|n为B的子集},那 2x2+3x=-2(x-3)2+2,所以当x N 3时,x2+y2取得最大值为 B.M∩N={ 剖析:上述解法忽视3x2+2y2=6x中x C.M∩N=A∩B 的限制条件。 D.M∩NsA∩B 错解:由A∩B=,可