解题篇 03 集合与函数、基本初等函数的创新问题-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

使用1棉明滑中学生数理化 回吗明图宰囊`烟与尊 ■兰师东 以集合与函数为背景的创新问题,常以 问题”为核心,以“探究”为途 发现”为 的,考查同学们在新背景下收集反馈处理 故集合A中至少有3个元素,可知集合 信息、应用集合与函数及基本初等函数知识A不是双元素集合 解决问题的能力 反思:集合中的新运算问题,可按照一定 创新1:集合中的新定义问题 的运算法则,结合集合知识进行逻辑推理和 例1集合A,B的并集A∪B 计算求解。本题的集合新运算问题揭示了集 当且仅当A≠B时,(A,B)与(B,A)视为不合中元素的个数为3的倍数的特征 同的对,则这样的(A,B)对的个数为 创新3:复合函数定义域中的创新问题 解:依据不同对的意义,结合并集的子集 例3若函数f(-x2+4x-1)的定义 构成过程一一列举求解。由A∪B={1,2 或为[0,m],可求得函数f(2x-1)的定义域 可知:A=,B={1,2};A={1},B={2}; 为[0,2],则实数m的取值范围是 1},B={1,2}:A={2},B={1};A={2}, 解:因为函数 B={1,2}:A={1,2),B=∞;A=(1,2},Bf(2x-1)的定义域为3 1};A={1,2},B={2}。答案为8 反思:对于新定义的集合问题,理解新定 可得-1≤2x-1≤3 义的意义,利用新定义将集合问题转化为集 合关系或集合的有关运算是解题的关键 则-1≤t≤3。由题意 创新2:集合中的新运算问题 知,当x∈[0,m时, 图 例2设数集A由实数构成,且满足:若t∈[-1,3],作出函数t= +4x-1的图 像,如图1所示 x=0 (1)若2∈A,试证明A中还有另外两个当x=2时,t=3,所以当2≤m≤4时,t∈ 1,3]。故实数m的取值范围是2≤m≤ (2)集合A是否为双元素集合,并说明 理由 反思:已知f(x)的定义域求f[9(x)] 解:(1)依据x∈A(x≠1,x≠0),则的定义域,就是解内层函数g(x)的不等式 ∈A,赋值推理证明。因为2∈A,所以反之就是求内函数φ(x)的值域。借助二次 函数的图像求解是本题的一大亮点 1∈A,可得 ∈A,所 创新4:函数单调性中的创新问题 例4已知函数f(x)是定义在R上的 以A中还有另外两个元索为-1,2 奇函数,若对于任意给定的实数x1,x2,且x1 (2)利用集合A满足的条件,即可进行≠x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2) 判断 +x2f(x1)恒成立,则不等式(x+1)f(1 依据x∈A(x≠1,x≠0),则,1=∈2x)<0的解集为 解:对于任意给定的实数x1,x2,且x1≠ A,所以 ∈A,且x≠ xx2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+ 中学生数理化 解题篇·创新题追根溯源 高一使用2019年9月 x2f(x1)恒成立,等价于(x1-x2)Lf(x1) 0,则f(2019) f(x2)]<0恒成立,即f(x)是定义在R上的 解:利用对应法则,赋值求解。令y=1, 减函数。因为f(x)是定义在R上的奇函则f(x+1)=f(x)+2f(1)]2,即f(x+1) 数,所以f(0)=0 f(x)=2Lf(1)]2。令x=0,y=1,则f(1) 当x+1>0时,由(x+1)f(1-2x)<0, f(0)+2f(1)]2。令x=y=0,则f(0)= 可得f(1-2x)<0=f(0),可知1-2x>0,解0。由此可得f(1)1所以f(x+1) 得>x>-1;当x+1<0时,由(x+1) f(x)=,然后赋值可得f(2)-f(1) f(1-2x)<0,可得f(1-2x)>0=f(0),可 知1-2x<0,此时无解 综上可得,(x+1)f(1-2x)<0的解集 f(2019)-f(2018) 由上累加可得 反思:函数f(x)在定义域D上单调递f(2019)-f(1)=2+20192019。因为 增台→函数f(x)在定义域D上,当x1≠ 4039 f(1)=2,所以f(2019) 0或( 反思:抽象函数中给出两个变量x,y的 f(x2)]>0恒成立;函数f(x)在定义域D对应法则,可考虑利用赋值法求解 上单调递减函数f(x)在定义域D上 创新7:函数不等式中的创新问题 x1≠x2时 0或( 例7定义在R上的函数f(x)满足:对 任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m) f(x1)-f(x2)]<0恒成立。 f(n),且当x>0时,0≤f(x)<1。若f(3) 创新5:函数对称轴中的创新问题 =1,且f(x)f(x-8)≤2,求x的取值范围 例5已知函数f(x)满足f(-x) 解:任取x1,x2∈R,令x1>x2,则x1 f(x),当a,b∈(-∞,0)时,总有x2>0,可得0≤f(x1-x2)<1。