知识篇 01 理解集合的含义要在四个方面下功夫-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

使用绩年折中学生数理化 理解集合的台义要在四个方画T功夫 ■张钢 集合是数学中重要的概念,是高中数学 可能的取值组成集合A,则集 的基础,与许多内容有着广泛的联系,它是研 究函数的工具,也是高考常考的热点。集合合A的元素为 的概念抽象,同学们理解起来往往有偏差,解 当x>0,y>0时,z=1+1+1=3 题时容易出错。对集合概念的理解,要在四 当x>0,y<0时 个方面下功夫 0,y>0时,z=-1+1-1 是“对象”——集合中的元素 0时,z 1+1=-1。所以集合A的 般地,一定范围内某些确定的、不同的 元素为-1,3 对象的全体构成一个集合。集合中的每个对 是“确定的”——集合元素的确定性 象称为该集合的元素。集合中的“对象”所指 作为集合的元素,必须是确定的。对于 的范围非常广,现实生活中我们看到的、听到 集合A和元素a,要么a∈A,要么a∈A, 的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事者必居其一。确定性是集合最基本的特性 物或一些抽象的符号等,都可看作“对象”,即 没有确定性,所指对象就不能构成集合。判 集合中的元素。例如全中国人的集合,它的断一些对象是否构成集合主要关注这些对象 是否确定,一般体现在判断的标准是否明确, 素就是每一个中国人。 如“较长”“比较小”等含糊的语句无法确定对 例1说出下列各个集合中的元素的含 象的构成,从而无法构成集合。 义。集合A={y|y=x2-9},B={x|y=x 例3下列对象能构成集合的是( A.江苏某中学所有有爱心的女生 解:在集合A中,代表元素y表示抛物 B.南京某中学部分特长生 线y=x2-9上任一点的纵坐标,即函数的值 C.中国的足球明星 域,这时A={y|y≥-9}。在集合B中,代 D.大于x的自然数 解:A中的“有爱心的女生”标准不明确 横坐标,即函数的定义域,这时B={x|x B中的“部分特长生”标准不明确。C中的 R)。在集合C中,代表元素是实数对(x,“足球明星”标准不明确。D中的π≈3.14,可 y),它表示的是点,这时集合C是由抛物线y知大于π的自然数为4,5,6,…。应选D x2-9上的所有点组成的 四是“不同的”——集合元素的互异性 二是“整体”——集合不是研究某个单 对于一个给定的集合,集合中的元素 对象的,它关注的是这些对象的全体 定是不同的,即集合的元素具有互异性。任 构成集合的每个对象叫作这个集合的元何两个相同的对象在同一集合中时,只能看 素。集合是一个整体概念,一旦确定即为 成这个集合中的一个元素。如由a,a2组成 个整体,而不是指其中的个别元素,它关注的的集合,可知a的值不能取0或 是这些对象的全体。因此集合中的元素的排 例4已知集合A的元素全为实数,且 列可以是任意的,即集合中元素具有无序性 元素的无序性决定了元素在集合中的地位是 满足:若a∈A,则1一a∈A 相同的,没有主次之分。例如集合{a,b,c}和 (1)若a=2,求出A中的所有元素。 集合{b,c,a}是同一个集合。 (2)0是不是集合A中的元素?请你设 计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素 例2已知x,y都是非零实数,z= (3)根据(1),(2),你能得出什么结论? 中学生理化細用知织给与拓 边长互不相等。 集合学习六注意 二、注意集合元素的无序性 例2已知集合A={a,a+b,a+2b} B={a,aq,aq2},其中a≠0,且集合A=B ■杜红全黄海虹 求q的值 分析:若两个集合相等,则两个集合里含 集合是高中数学的重要内容,也是每 有相同的元素。由a∈A,可知a也一定属于 高考必考的知识点,初学者稍不注意,就会出 B,反之亦然。解题时还要注意集合元素的 现这样或那样的错误。下面将从集合的互异 互异性。 性,无序性,空集的特性等方面举例说明应注 +b 意的问题,希望能起到抛砖引玉的作用。 解:由集合 B,可得 +2b 、注意集合元素的互异性 + 例1若一个集合中的三个元素a,b,c a+2b=aq。 △ABC的三边长,则此三角形一定不是 中消去b,解得q=1,此 a+2b=aq2 A.锐角三角形 B.直角三角形 时a=aq=aq2,这与集合元素的互异性相矛 C.钝角三角形 D.等腰三角形 a+b 分析:要判断三角形的形状,需要判断 盾,可知q≠1;在 中,消去b,解 +2b 边关系或三个角的关系。由于已知条件涉及 边长,故考虑三边之间的关系 得q=-2或=1(舍去)。 解:因为集合中的元素具有互异性,所以 综上所述,q c互不相等,因此△ABC一定不是等腰 三角形。应选D。 点评 本题是利用集合元素的 无序性和两个集合相等时的 占 解答本题的关键是由 异转化为△ABC的 元素特征求解的,但要注意对所求结果进 解:(1)由2∈A,得 1+ ①由(1),(2)知:0,1∈