知识篇 02 集合学习六注意-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

中学生数理化 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年9月 边长互不相等。 集合学习六注意 注意集合元素的无序性 例2已知集合A={a,a+b,a+2b} B={a,aq,aq2},其中a≠0,且集合A=B, ■杜红全黄海虹 求q的值 分析:若两个集合相等,则两个集合里含 集合是高中数学的重要内容,也是每年 有相同的元素。由a∈A,可知a也一定属于 高考必考的知识点,初学者稍不注意,就会出B,反之亦然。解题时还要注意集合元素的 现这样或那样的错误。下面将从集合的互异互异性 性,无序性,空集的特性等方面举例说明应注 意的问题,希望能起到抛砖引玉的作用 解:由集合 B,可得(4+b a+2b=aq 、注意集合元素的互异性 + 例1若一个集合中的三个元素a,b,c +2b=aq。 是△ABC的三边长,则此三角形一定不是 a+b=ag, 中消去b,解得q=1,此 +2b=aq2 A.锐角三角形 B.直角三角形 时a=aq=aq2,这与集合元素的互异性相矛 C.钝角三角形 D.等腰三角形 分析:要判断三角形的形状,需要判断三 盾,可知≠1;在{a+b=aq2, 中,消去b,解 a+2b=aq 边关系或三个角的关系。由于已知条件涉及 边长,故考虑三边之间的关系。 或 解:因为集合中的元素具有互异性,所以 ,b,c互不相等,因此△ABC一定不是等腰 综上所述,q=2° 角形。应选D。 占 本题是利用集合元素的 占 解答本题的关键是由 无序性和两个集合相等时的 b,c互异转化为△ABC的 素特征求解的,但要注意对所求结果进 解:(1)由2∈A,得 1+2 ①由(1),(2)知:0,1∈A。 3∈A,由 3∈A,得1-3 若-1∈Am1+a=-1,这时无解,故 ∈A,再由 1∈ ∈A,而3∈A,所以一3 ②设a1∈A,则a1∈A1+a=a2∈A 得 1-a1 1+a A。故A中的所有元素为2,—3, ∈A。由集合元 (2)0不是A的元素。若0∈A,则1-0素的互异性知A中最多只有4个元素a1 1。显然 1∈A,而当1∈A时 不存在,故0不 石 ,则 是集合A的元素。取a=3,容易得到A a=-1,这时无实数解。同理可知,a1≠a:。 故A中有4个元素 (3)猜想:①A中没有元素-1,0,1。② 作者单位:江苏省无锡市第六高级中学 A中有4个元素,且每两个元素互为负倒数 (责任编辑郭正华) 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年9月 中学生数理化 检验,以保证结果的正确性 选B 三、注意空集的特性 ①点评 解答本题的关键是认清 例3已知集合A={x2a+1≤x≤3a 集合的代表元素,理解代表元 5},B={x3≤x≤22},求使A≌B成立的素应满足的条件 实数a的取值范围。 五、注意集合中参数的取值范围 分析:由于集合A中含有参数a,故要考 例5已知集合A 虑A=∞的情形。 ={a-3,a2+1,2a-1},且A∩B={-3}, 解:当A=时,由2a+1>3a-5,解得求实数a的值 分析:根据已知条件列出关于a的方程 a<6;当A≠时,由{3≤2a+1, 解得即可求解 解:由A∩B={-3},再根据题意可得 解得 综上所述,a的取值范围是a≤9 1。当a=0时,A={-3,0,1},B={-3, 点评 当题中隐含空集参与的1,-1},此时A∩B={-3,1},这与A∩B 集合之间关系及运算时,应首{-3}相矛盾。故a=-1。 先考虑空集的情况。需要牢记的是:空集是 点评 解答本题的关键是根据 任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 已知条件列出关于a的方程 空集与任何集合的交集仍然是空集。 本题的易错点是容易忽视对a=0时的检验, 四、注意集合的代表元素 从而产生增解。 例4已知集合A={x|y=x2-2.x+ 注意集合的端点值的取舍 1},B={y|y 例6已知集合A={x|a-2<x<a+ 1=0},D={x|x2-2x+1<0},E={(x,2},B={x-2<x<3},若A∩B=A,求实 y)|y=x2-2x+1},F=(x,y)x2-2x+数a的取值范围。 0,y∈R},则下列结论正确的是 分析:由于A,B都是数集,所以可以借 A. ACBCCCD E.D实CBA助数轴直观解答。 解:由A∩B=A,可得AB。在数轴 分析:题中给出的六个集合的元素特征上表示集合A和集合B,如图1所示 均与x2-2x+1有关,这时应注意集合的代 表元素。 数y=x2-2x+1自变量x的取值范围,即 函数y=x2-2x+1的定义域,可知集合A 因为A∩B=A,且A≠,所以 =R。集合B={y|y=x2-2x+1}表示函数 y=x2-2x+1的值域,可知集合B={y|y 即0≤a≤1。故实数a的取值 a+2≤3, ≥0}。集合C={x|x2-2x+1=