知识篇 07 对数函数单调性的应用知多少-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

使用绩年折中学生数理化 对数的数单调性的应用知多少 ■王佩其 同学们学习了对数函数的单调性,你能为{x|x>a2};当0<a<1时,原不等式的解 说出对数函数的单调性有哪些基本的应用集为{x|0<x<a2} 马?让我们一起走进对数函数单调性的应用 评注:解对数不等式需考虑对数定义中 大观园”,去寻找答案 的隐含条件,即真数大于零、底数大于零且不 一、比较对数值的大小 等于1,再根据对数函数的单调性,把对数不 例1比较下列两个值的大小。 等式转化为含真数的不等式,然后求交集可 log3.1,log.5.2(a>0,且a≠1)。 得原不等式的解集 解:当a>1时,因为函数y= logan在 三、对数函数的值域或最值问题 0,十∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以 例3已知函数y= logar(2≤x≤4)的 loga3.1<loga5.2。 最大值比最小值大1,求a的值 当0≤a<1时,因为函数y= logan在 解:当a>1时,函数y=1ogax(2≤x≤ (0,十∞)上是减函数,又3.1≤5.2,所以4)为增函数,由题意得log4-log2=loga2 loge 3. 1>log 5.2 1,所以a=2。又2>1,故符合题意 综上可知,当a>1时,log3.1<log5.2 当0<a<1时,函数y=1ogax(2≤x≤ 当0<a≤1时,loga3.1>loga5.2。 评注:比较对数值的大小,主要依据对数 4)为减函数,由题意得10g2-1og4=1og。2 函数的单调性。若底数为同一参数,则对底 1,所以a=。又021,故符合题意。 数进行分类讨论,按照对数函数的单调性进 行比较大小。 综上可得,a=2或a 二、解对数不等式 评注:解答这类问题,应先确定函数的定 例2解下列不等式。 义域,再依据对数函数的单调性求值域或最 (1)logo. 7 2.x<logo,(x-1) 值,若底数不确定,需要分类讨论 四、对数函数中的参数问题 解:根据对数函数的单调性解答即可,但 例4已知f(x)=log。(2-ax)在[0,1 要注意定义域的限制作用,在底数不确定时上是减函数,则实数a的取值范围是 应注意分类讨论 解:由复合函数可得y=logu,l=2 (1)函数y=log7x在(0,+∞)上为减 x。由a>0,可知u=2-ax在[0,1]上是 函数,由log2x<log(x-1),可得减函数,由复合函数的单调性知y=logu为 增函数,所以a>1。这里同时满足在[0,1 解得x>1,所以原不等式的解上2-ax>0,故2-a>0,即a<2。 上可知,a∈(1,2)。 集为{x|x>1}。 :解答这类问题,既要考虑复合函数 (2)当a>1时,原不等式可化为 logar 的单调性,又要考虑函数的定义域,同时要将 log2a2,可得x>a2;当0<a<1时,原不等式所求问题转化为不等式(组)进行求解 可化为 loga.x>loga2,可得0<x<a2。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 综上可知,当a>1时,原不等式的解集 (责任编辑郭正华)