知识篇 09 活用奇偶函数的性质妙解题-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

使用绩年折中学生数理化 活用奇偶函数的性质妙解题限3 ■华腾飞 在函数奇偶性的定义中,x与一x同时数,且在区间(—∞,0)上单调递增,若实数a 出现,联想到实数绝对值的定义|x 满足f(2-)>f(-/2),则a的取值范围 x(x≥0) 则函数的奇偶性具有以下性 是 x(x<0), 解:由f(x)是定义在R上的偶函数,且 质:①若f(x)是定义在M上的奇函数,则当在区间(-∞,0)上单调递增,可得f(x)在区 x<0时,f(x)=-f(|x1)。②若f(x)是定间(0,+∞)上单调递减。由f(2-1)> 义在M上的偶函数,则对任意的x∈M,都(-2),且f(-)=f(2),可得2 有f(x)=f(|x|)=f(-x)=f(-|x|)。 ③奇函数在对称区间上单调性相同。④偶函2,即a-1<2,所以a<3 数在对称区间上单调性相反 例5讨论函数∫(x)= 利用函数的奇偶性解题,常常可以使运 的单调性。 算过程简单快捷,下面举例说明 解:易知函数f(x)的定义域为R,且 例1已知函数f(x)是奇函数,且当xf(x)为奇函数。任取x1,x2∈[0,+∞),设 ≥0时,f(x)=x(1+x),求当x<0时,函数 x1<x2,则f(x1)-f(x2)= f(x)的表达式。 /1+x 解:当x<0时,x|>0,由f(x)是奇函 xi+xix?-/x3+xix 数,可知当x<0时,f(x)=-f(|x|)= 1x|(1+|x|) 由0≤x1<x2,可得x<x2,所以x2+ x1x2<x2+x2x2,即x+xx 故函数f(x) x2+xx,可知f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故f(x)在[0,+∞)上是增 例2已知∫(x)是定义在R上的偶函 函数。因为f(x)为R上的奇函数,所以 数,且在[0,十∞)上单调递增,求解不等式 f(x)在(∞,0]上也是增函数。故函数 f(x-1)<f(3)。 ∞)上是增函数 解:由∫(x)是偶函数,可得f(x-1) 例6已知函数f(x)是定义在R上的 周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)= 由|x-1≥0,可得|x-1|∈[0,+∞) 由∫(x)在[0,十∞)上单调递增,可得4,求 +f(1)的值。 f(x-1)<f(3)f(|x-1|)<f(3)台 解:由f(x)是定义在R上的奇函数,可得 1<3÷-3<x-1<3÷-2<x<4 f(0)=0。由f(x)=-f(-x),f(x+2) 故不等式的解集为{x|-2x<4 f(x),可得f(x+1)=-f(1-x)。令x=0,可 例3已知偶函数f(x)在[1,5上单调递得f(1)=-f(1),所以f(1)=0。于是可得 减,试比较f(-1),f(-π),f(-5)的大小 解:由∫(x)在[1,5]上单调递减,且为偶 函数,可知f(x)在[—5,—1]上单调递增。 2。故 +f(1)=-2 由-1,-x,-5∈[-5,-1],且-1>-x> 5,可得f(-1)>f(-x)>f(-5)。 作者单位:安徽省灵璧县黄湾中学 例4已知f(x)是定义在R上的偶函 (责任编辑郭正华)