知识篇 10 例析指数函数单调性的应用-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

中学生数理化 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年9月 指数函数y=a2(a>0且a≠ 上是增函数,在[1,+∞)上为减函 1),当a>1时,它在R上是增函 数,而y=()在R上为减函数, ;当a∈(0,1)时,它在R上是减 函数。指数函数的单调性看似简 故f(x)在(-∞,1上是减函数,在 单,应用却十分广泛,下面举例 1,+∞)上为增函数 说明 (2)指数函数f(x)= 在 利用指数函数的单调性比 定义域上为减函数,要求f(x)的单 较大小 买口调递增区间,只需求y=1x-1的 例1比较下列各组中两个值 的大小。 柳单调递减区间 因为=1x-1的单调递减区 解:由1.725与1.73的底数是 单调性的应用 1],所以函数f(x)的单 调递增区间为(-∞,1 1.7,可构造函数y 评注:求复合函数的单调区间 1.7在R上是递增的。因为2.5≤ 首先求出函数的定义域,然后把函 3,所以1.7251.73。 由指数函数的单调性知2.308 数分解成y=f(u),a=g(x),通过 2.3=1,0.6731>0.670=1,所以 考查f()和g(x)的单调性,求出 y=f[(x)]的单调性 2.3028<0.67-。 评注:对于底数不同且指数也不同的幂 四、利用指数函数的单调性求 函数的值域或最值 的大小比较,可通过中间值来判断 (1)函数 、利用指数函数的单调性解不等式 例2已知a-3x+1<a+6(a>0,a≠1), (0,2]的值域是 (2)函数f(x)=a(a>0且a≠1)在区 求x的取值范围 解:由题意可分情况讨论求解 间[1,2]上的最大值比最小值大。,则a的值 当0<a<1时,函数f(x)=a2在R上 是减函数,可得x2-3x+1>x+6,即x 解:(1)因为y=22与y=2在区间(0, 4x-5>0,解得x 2]上分别单调递增和单调递减,根据复合函 当a>1时,函数f(x)=a在R上是增 数的性质知y=2x-2-在x∈(0,2]上是增 函数,可得x2-3x+1<x+6,即x2-4x-5 函数,所以此函数的值域为(22×0-2-°,22×2 0,解得-1<x<5。 综上所述,当0<a<1时,x<-1或 2-2),即值域为(0, >5;当a>1时,1<x<5 (2)若a>1,则f(x)在[1,2]上递增,可 评注:解不等式a1m)>a8(x)(a>0,a≠1) 的依据是指数函数的单调性,若底数不确定 得a2-a=2,即a=或a=0(不合题意); 就要进行分类讨论 若0<a≤1,则f(x)在[1,2]上递减,可得a 三、利用指数函数的单调性求单调区间 ,即 或a=0(不合题意) 例3(1)函数f(x) 综上所述,所求a的值为。或 周增区间是 单调减区间是 评注:需要注意的是:这类问题的解答题 (2)已知函数f(x)=(2/,则函数必须要对函数的单调性加以证明后才能应用 f(x)的单调递增区间是。 作者单位:江苏省包场高级中学 解:(1)由于u (责任编辑郭正华)