知识篇 12 含参数的对数函数问题的求解策略-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

中学生数理化 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年9月 含参数的对数问题是对数函数 解:因为a>0且a≠1,所以 性质应用的一个重要问题,这类问题 y=ax-1在[3,6]上单调递增。 涉及面广,综合性强,难度大,同时含 有丰富的数学思想方法,是高考考查 loga(ax-1)在[3,6上单调递增 的热点。下面剖析这类问题的求解 则loga(6a-1)>0,即6a-1>1 策略 解得a 故a>1。当0<a<1 利用函数的性质 例1已知函数f( 2ax-5a)在区间[2,+∞)上是 三数的对数数问题的 李志勤 时,函数f(x)=loga(ax-1)在 [3,6]上单调递减,则loga(3a-1) 增函数,则a的取值范围为 0,即0<3 解得 解:由函数f(x)=lg(x2 2ax-5a)在区间[2,+∞)上是增 3,故3<a≤3°综上可得 函数,可得 解得 4+4a-5a>0, a的取值范围为(3,3)U(1, ∈[-2,4) 评析:本题考查复合函数的单 评析:由于题中对数函数的底 调性的应用。本题的易错点是忽 数未知,所以需要对底数进行讨论 视函数的定义域 求解。 二、数形结合的思想 四、函数与方程的思想 例4设函数f(x)的定义域 lOg4x|,正实数m,n满足m 为D,若函数f(x)满足条件:存在 且f(m)=f(n),若函数f(x)在 [a,b]sD,使f(x)在[a,b]上的 区间[m2,n上的最大值为2,则m 值域是 ,则称∫(x)为“倍 解:由f(x)=1gx|,正实数m,n满缩函数”。若函数f(x)=lg2(2+z)为“倍 足m<n,且f(m)=f(n),可得|log;n 缩函数”,则实数t的取值范围是 log1n|,可知-logm=log1n,即log1m+ 解:由“倍缩函数”的定义,可知f(x)在 log:n=0,所以mn=1。 La,b]上是增函数。由题意可得 由f(x)在区间[m2,n上的最大值为2, 根据∫(x)的图像(图略),可知f(x)在[m2, 即 所以a,b 1)上递减,在(1,n)上递增,所以f(m2) log2(2+t)=2, 20+t=2 log2m=2,据此可得m=4,n是方程2-2÷+t=0的两个不等实根。设 m=27=/2,则m>0,此时方程m2-m+t =0有两个不等实根,且两根都大于0,所以 评析:本题考查对数函数的图像与单调 (-1)2-4t>0 性的应用,其中利用数形结合法降低了解题 解得 即实数t的 的难度。 三、分类讨论的思想 范围是(0,4) 例3已知函数f(x)=loga(ax-1)(a 析:解答本题利用了构造法以及函数 >0且a≠1) 与方程的思想方法。 若f(x)在[3,6上的最大值大于0,求a 作者单位:山东省平邑县第一中学西校 的取值范围 (责任编辑郭正华)