知识篇 13 从一道题谈集合中的“存在性”与“恒成立”问题-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

使用绩年折中学生数理化 从一道题谈集合中的“存在性”与“恒成立”问题 ■刘长柏 存在性”与“恒成立”问题是高考的热点函数y=log2(ax2+2x-2)的定义域为Q, 与难点问题,也是同学们解题中容易混淆的问若QsP,则实数a的取值范围是 ,突破这一难关的关键是细心审题及恰当地 提示:所求问题转化为Vx∈ 转化。下面从一道题谈集合中“存在性”与“恒 成立”问题,意在“抛砖引玉 ∞,)U(3,+∞),使得ax2+2x-2≤0 题目已知集合P={x|1≤a≤3},函恒成立,即a≤ 恒成立 数y=log2(ax2+2x-2)的定义域为Q,若 令函数g(x) P∩Q≠,则实数a的取值范围是 分析:由题意可知,3:∈「1,3,使得因为x∈(-=3)u(a,+∞,所以∈ ax2+2x-2>0,再利用分离参数法求实数a(-∞,0)U(0,3)U(3,+∞),可得0>g(x) 的取值范围。 解:由题意可知,彐x∈ -9或(x)>0。故a≤-9,即实数a的 2x-2>0,即a>~2x 取值范围是a∈(-c 评析:本题是把所求问题转化为恒成立 令函数g(x) 问题求解的,与变式1的区别在于两个集合 的包含关系相反。在分离参数求最值时,所 2。因为x∈3…,3,所以x∈ 求最值有所不同,应注意正确区分 变式3:已知集合P={x-2≤x≤2}, 得-2≤g(x)≤12。故a>-2,即实数a 函数f(x)=x2+x-2,不等式f(,x)≤m2 的取值范围是a∈(_1 2m+3的解集为Q,若P≌Q,则实数m的取 值范围是 评析:解题时,应挖掘题中的隐含条件 提示:所求问题转化为不等式f(x)≤ 将条件合理转化为存在性问题,再利用分离 m2-2m+3对于所有的x∈[-2,2]恒成 参数法求解。 立,因此只需m2-2m+3≥f(x)mx,x∈ 变式1:已知集合P={x≤x≤3 2,2]即可 函数y=log2(ax2+2x-2)的定义域为Q, 由题意可知函数f(x)=x2+x-6的对 若P∩Q=P,则实数a的取值范围是。 称轴为直线 所以f(x)在x∈ 提示:P∩Q=P等价于PQ。所求问 [-2,2]上的最大值为f(2)=4,故m2-2m 题转化为x∈L33小,使得ax2+2x-2>+3≥4,解得m≤1-尼或m≥1+ 0恒成立。由上面的解析,易得a>12,即实 评析:逻辑关系是数学解题中常用的基 数a的取值范围是(12,+∞)。 本关系,只有认清逻辑关系,才能把问题进行 评析:本题是把所求问题转化为恒成立合理转化,从而顺利求解 问题求解的。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 变式2:已知集合P (责任编辑郭正华)