知识篇 14 幂函数常考题型例析-《中学生数理化》高中版·高一使用 2019年9月刊（数学）

中学生数理化 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年9月 幂函数常考题型例析A 赵昆 幂函数是重要的基本初等函数之一,幂再结合函数f(x)=(a2-7a+13)x-为其定 函数也是每年高考的必考知识点。下面总结义域上的单调递增函数,确定所求的a值 归纳幂函数的常考题型,以供大家学习与提 解:因为函数f(x)=(a2-7a+13)xa- 为幂函数,所以 7a+13=1,解得a=3 题型1:幂函数的概念问 般地,函数y=x“(a∈R)叫作幂函 当a=3时,函数f(x)=x2在(-∞,O] 数,其中x是自变量,a是常数,函数式前的上为单调递减函数,不满足题意;当a=4时, 系数是1 函数f(x)=x3在定义域(x∈R)上为单调 递增函数。 在[0,+∞)上是单调递减函数,则实数m的 故a的值为4。 值为 分析:由幂函数 ①点评 本题主要考查幂函数的 单调性和函数的定义域,熟练 在[0,十∞)上是单调递减函数,可得掌握幂函数的图像和性质是解答本题的关 m2-m-1=1, 由此即可求出实数m的 m2-2m-3<0, 题型3:幂函数的值域问题 值 对于幂函数y 当a<0时,若幂函 解:由幂函数y=(m2-m-1)xm2-2m3在数是奇函数,则值域为{yy∈R,y≠0},若幂 0,+∞)上是单调递减函数,可得函数为偶函数,则值域为(0,+∞),若幂函数 n-1=1 为非奇非偶函数,则值域为(0,+∞);当a 解得 m2-2m-3 0时,若幂函数是奇函数,则值域为R,若幂函 ①点评 解答本题的关键是理解数为偶函数,则值域为[0,+∞),若幂函数为 幂函数的定义及幂函数的单非奇非偶函数,则值域为[0,+∞) 调性。本题属于幂函数的基础题,主要考查 例3设a∈{-1,1,2,3},则使函数y 同学们的推理与判断能力 =x的值域为R且为奇函数的所有a值组 题型2:幂函数的定义域问题 成的集合为 对于幂函数y=x“,当a<0时,若幂函 A.{1,3} 数是奇函数或偶函数,则定义域为{x|x∈R, x≠0},若幂函数为非奇非偶函数,则定义域 分析:根据幂函数的奇偶性和值域的性 为(0,+∞);当a>0时,若幂函数是奇函数质,找到幂指数满足的条件,再从集合里按条 或偶函数,则定义域为R,若幂函数为非奇非件寻找即可。 偶函数,则定义域为[0,+∞) 解:由函数y=x°的值域为R且为奇函 例2若幂函数f(x)=(a2-7a 数,可得幂指数a为正数且为奇数,所以只有 13)·x-为其定义域上的单调递增函数,则 和3满足要求。应选A。 实数a的值为 点评 本题主要考查幂函数的 分析:根据幂函数的定义,先求出a的值, 奇偶性和函数的值域,属于幂 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年9月 中学生数理化 函数的基础题。 题型4:幂函数的图像问题 f(x)=x5= 易得f(-x)=-f(x), 幂函数y=x“在(0,+∞)上有定义, 可知f(x)为奇函数,再由幂指数的值为负数 图像过点(1,1)。当a>0时,幂函数在第 可得f(x)在(0,+∞)上为减函数,由此即得 象限为增函数;当a>1时,幂函数的图像下答案。 凸;当0<a<1时,幂函数的图像上凸。当a 解:函数f(x)=x 0时,幂函数在第一象限为减函数,且幂函 数的图像下凸,图像在y轴右方无限逼近y f(x),可知f(x)为奇函数(也 轴,图像在x轴上方无限逼近x轴 例4对于幂函数y=x,下列结论正确可以由幂指数的分子、分母都是奇数判断幂 的是()。 函数是奇函数)。由幂指数为负数,可知 A.幂函数的图像一定过原点 f(x)在(0,+∞)上为减函数。应选B。 B.当a<0时,幂函数y=x“是减函数 占 本题主要考查幂函数的 C.当a>0时,幂函数y=x“是增函数 性质·题中涉及奇偶性、单调 D.函数y=x2既是二次函数,也是幂性的判断方法,本题属于幂函数的基础题 题型6:幂函数的奇偶性问题 分析:当a=0时,0°无意义;当a<0 对于幂函数y=x“(a为整数),当 时,幂函数y=x°在(0,+∞)上为减函数:当奇数时,幂函数为奇函数,当a为偶数时,幂 a=2时,幂函数y=x°在(一∞,0)上为减函函数为偶函数。对于幂函数y=x2=%xm 数;幂函数y=x2,也是二次函数 (n,n为整数),当m为偶数时,幂函数为偶 解:对于A,当a=0时,0°无意义,幂函函数;当m,n都为奇数时,幂函数为奇函数。 数y=x°不可能过原点,A不正确。对于B 例6函数y=x-”是偶函数,且在 当a<0时,幂函数y=x在(0,+∞)上为(0,+∞)上是减函数,则整数a组成的集合 减函数,但幂函数y=x在整个定义域上不为() 一定是减函数,B错误。对于C,当a=2时 A.{1,3,5} B.{-1,1,3} 幂函数在(0,十∞