第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入（课件+作业）-2020高考理科数学【创新思维】一轮总复习（北师大版）

专题提能课(3)　解决平面向量计算的两种策略 * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 高考为什么考 高考考什么 高考怎么考 平面向量具有代数和几何的双重属性，是沟通代数与几何的桥梁，是解决数学问题和实际问题或其它学科问题的基础性的工具. 在高考中，主要考平面向量的有关概念，运算及应用，常考常新. 主要以小题形式考查向量的基本运算，常与三角形知识结合，解答题主要在解析几何题中，借用向量的运算，体现其工具性的作用. * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 1　 [例1]　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－　　　　B. C. D. * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 解析：策略一：转化为基底运算 法一：设＝a，＝b，∴＝＝(b－a)，＝＝(b－a)，＝＋＝－a＋(b－a)＝－a＋b， ∴·＝－a·b＋b2＝－＋＝，故选B. 策略二：借助数量积的几何意义 * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 法二：·的几何意义是的长度与在方向上射影的乘积．如图所示，连接AE，过D作BC的垂线，垂足为M，过F作BC的垂线，垂足为N.则EN的长度为在方向上的射影．由△DME和△FNE的相似比是2∶1，容易求得|EN|＝，∴·＝|BC|·|EN|＝，故选B. 答案：B * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 [例2]　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________． 解析：策略一：转化为基底运算 法一：设＝a，＝b， ∴＝a＋b，＝＋＝b－a， ∴·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝4－2＝2. * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 策略二：转化为坐标运算 法二：以B为坐标原点，BA所在直线为y轴，BC所在直线为x轴，容易得到：＝(2，2)，＝(2，1)－(0，2)＝(2，－1)， ∴·＝4－2＝2. 策略三：借助数量积的几何意义 法三：由·＝·(＋)＝·＋·，则·的几何意义是的长度和在方向上射影的乘积与的长度和在方向上射影的乘积之和．如图所示，过E作AB的垂线，垂足为F.则－|AF|是在方向上的射影，|BC|是在方向上的射影． * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 ∴·＝·＋·＝－|AF|·|BA|＋|BC|·|BC|＝－2＋4＝2. 答案：2 [评析]　研究向量数量积的计算问题，如果通过数，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，取决于问题是否容易坐标化．如果利用数量积的几何意义，借助于几何运算会有意想不到的效果，但前提是某些射影容易计算． * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 2　 [例3]　如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则·的最小值为________． * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 解析：策略一：转化为基底运算 法一：由题设条件，＝＋. 设＝λ＝＋， 则＝－＝＋， ∴·＝·＝ ||2＋||2＝＋＝－＝－≥－， ∴·的最小值为－. * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 策略二：借助数量积的几何意义 法二：·的几何意义是的长度与在方向上射影的乘积，当点P在线段OC上时，·为负值，当点P在线段OC的延长线时，·为正值， ∴当·取得最小值时，点P在线段OC上． 此时有·＝－||·||，而||＋||＝， 则·＝－||·||≥－＝－. 答案：－ * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 [评析]　本题的代数方法为将向量，用基底向量，线性表出，从而达到数化的目的，转化成函数问题求最值，当然也可以直接坐标化处理问题；法二借助于数量积几何意义将问题转化为两线段和为定值，求其积的最值的问题，借助不等式放缩，水到渠成． * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 [例4]　如图，已知点P(2，0)，且正方形ABCD内接于圆O：x2＋y2＝1，M，N分别为边AB，BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，·的取值范围为________． * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 解析：策略一：转化为坐标运算 法一：正方形ABCD绕圆心O旋转时，始终存在|OM|＝|ON|＝，OM⊥ON，设N，则有M， 即M， 则＝， ＝， ·＝cos α－sin αcos α＝－cos α∈[－，] . * 解法1 解法3 解法2 下页 末页 上页 首页 策略二：借助数量积的几何意义 法二：·＝(＋)·＝·＝－·. 而·的几何意义是的长度和在OP方向上射