第六章 不等式、推理与证明（课件+作业）-2020高考理科数学【创新思维】一轮总复习（北师大版）

专题提能课(5)　数列不等式的证明与放缩问题 * 解法1 解法2 下页 末页 上页 首页 高考为什么考 高考考什么 高考怎么考 数列与不等式的综合，既是知识的结合点，也是数学方法与思想的综合点，更是能力的培养点，是高考的一个热点题型，具有很高的选拔性和区分度. 主要考不等式的常用方法，比较法、放缩法、利用函数的单调性法、数学归纳法和数列的基本知识. 常出现在高考数列试题的第(2)问中，在第(1)问的基本问题的基础上，进行有关自然数不等式的推理与证明. * 解法1 解法2 下页 末页 上页 首页 1　 对于较简单的试题，往往先用等比数列求和、裂项相消法或错位相减法，先求和后放缩． [例1]　设数列{an}是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足＝2n－1(n∈N＋)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6. * 解法1 解法2 下页 末页 上页 首页 解析：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0. 因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3. 又2a1，a3－1，a4＋1成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，解得d＝2，a1＝1. 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N＋. (2)由＝2n－1，得bn＝＝(2n－1)·()n－1，则 Tn＝1·()0＋3·()1＋…＋(2n－1)·()n－1， 所以Tn＝1·()1＋3·()2＋…＋(2n－3)·()n－1＋(2n－1)·()n， * 解法1 解法2 下页 末页 上页 首页 两式相减得： Tn＝1＋2·()1＋2·()2＋…＋2·()n－1－(2n－1)·()n＝1＋－ ＝3－－， 故Tn＝6－，n∈N＋. ∵n∈N＋，∴Tn＝6－＜6. [评析]　(1)由已知构建基本量a1，d的方程组，再利用通项公式可求出an；(2)通过错位相减法，构造等比数列求和，再放缩可得． * 解法1 解法2 下页 末页 上页 首页 2　 [例2]　已知数列{an}满足a2＝9，an＋1＝8an－7，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝(n∈N＋)，将cn的底数与指数互换得到dn，设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜. 解析：(1)由已知可得：an＋1－1＝8(an－1)，又由a2＝8a1－7⇒a1＝2，故a1－1＝1≠0，所以数列{an－1}是以1为首项、8为公比的等比数列，所以an－1＝8n－1，所以，数列{an}的通项公式为an＝8n－1＋1，n∈N＋. * 解法1 解法2 下页 末页 上页 首页 (2)由(1)可得：an＋1－1＝8n，所以cn＝＝＝2n(n∈N＋)． 将cn＝2n(n∈N＋)的底数与指数互换得到dn＝n2⇒＝(n∈N＋)， 所以＝＜＝ ＝＝2. 当n＝1时，Tn＝＝1＜成立； 当n＝2时，Tn＝＋＝1＋＜成立； * 解法1 解法2 下页 末页 上页 首页 [评析]　此类问题对推理能力要求较高，难度较大．此类问题破题的关键是：(1)对典型问题的处理方法要熟悉，注意平时的知识储备和题型的积累；(2)深入分析通项及所求证不等式的特点与联系，形成固定的解题套路． 当n≥3时，Tn＝＋＋＋…＋ ＝1＋＋2[(－)＋…＋(－)] ＝1＋＋－＜1＋＋＝， 综上，Tn＜，n∈N＋成立． $$ 第一节　不等式的性质及一元二次不等式 [基础梳理] 1．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a． (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c． (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c． (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc． (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)． (8)开方法则：a>b>0⇒(n∈N，n≥2)． > 2．不等式的倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒. < (2)a<0<b⇒. < (3)a>b>0，0<c<d⇒. > 3．两个实数比较大小的依据 (1)a－b>0⇔a>b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b<0⇔a<b. 4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c>0(a>0