第八章 平面解析几何（课件+作业）-2020高考理科数学【创新思维】一轮总复习（北师大版）

专题提能课(6)　圆锥曲线问题的优化运算策略 * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 圆锥曲线问题运算量大，综合性强，因此，在解答圆锥曲线问题时必须研究技巧与策略，寻求突破点，选用适当方法，以求做到选择捷径、简化计算、避繁就简、合理解题，收到事半功倍之效． * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 1　 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果． [例1]　圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程． [分析]　通过平行线的性质，结合圆的相关性质，通过三角形中等角对等边的转化确定定值问题，并利用椭圆的定义来求解相应的轨迹方程． * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 解析：如图所示，因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|，又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4，由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2， 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0) * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 [评析]　本题主要考查平行线的性质，圆的相关性质与三角形的性质，椭圆的定义与轨迹方程的求解．圆锥曲线的定义揭示的是事物的本质属性． * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 2　 巧设参数的实质是通过引入参变量加以替换，使得圆锥曲线中相关或不相关的量统一在参变量下，减少未知量的个数，这样解决问题更方便，同时可以进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变． [例2]　设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　) A．(1，3)　　　　 B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4) [分析]　先设出直线l的方程x＝ty＋m(这样可以避免讨论直线的斜率是否存在问题)，根据直线与抛物线相交于两点得到Δ＝16t2＋16m＞0，结合根与系数的关系与中点坐标公式确定点M的坐标，利用直线l与圆相切，分别得到两直线垂直以及半径的关系式，进而得以判断r的取值范围． * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 解析：不妨设直线l的方程为x＝ty＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0， 则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， 那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m， 可得线段AB的中点M(2t2＋m，2t)， 而由题可得直线AB与直线MC垂直， 即kMC·kAB＝－1， 可得·＝－1， * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0， 可得3－t2＞0，即0＜t2＜3.又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d＝＝＝2＝r，而由0＜t2＜3可得2＜r＜4. 答案：D [评析]　本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线的方程与应用，点到直线的距离公式，考查运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．巧妙通过直线方程的设置，引入参数，利用直线与圆锥曲线的位置关系加以转化，结合题目条件通过分析参数的取值范围达到解决问题的目的． * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 3　 在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题． [例3]　(2015·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________． [分析]　要求△APF的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P的位置，通过求解点P的坐标进而利用三角形的面积公式来处理． * 解法1 解法3 解法2 解法4 下页 末页 上页 首页 解析：设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定