天天练29 空间向量与立体几何-2020高考理科数学【试吧大考卷】高中全程训练计划

天天练 29　空间向量与立体几何 小题狂练 小题是基础　练小题　提分快 一、选择题 1．[2019·台州模拟]在空间直角坐标系O－xyz中，z轴上到点A(1,0,2)与点B(2，－2,1)距离相等的点C的坐标为(　　) A．(0,0，－1)　　　　B．(0,0,1) C．(0,0，－2) D．(0,0,2) 答案：C 解析：设C(0,0，z)，由点C到点A(1,0,2)与点B(2，－2,1)的距离相等，得12＋02＋(z－2)2＝(2－0)2＋(－2－0)2＋(z－1)2，解得z＝－2，故C(0,0，－2)． 2．设三棱锥OABC中，等于(　　) ＝c，点G是△ABC的重心，则＝b，＝a， A．a＋b－c B．a＋b＋c C.(a＋b＋c) (a＋b＋c) D. 答案：D 解析：如图所示，(a＋b＋c)． )＝－＋－(＋)＝＋(＋＝＋＝ 3．已知A∈α，P∉α，，则直线PA与平面α所成的角为(　　) ，平面α的一个法向量n＝＝ A．30° B．45° C．60° D．150° 答案：C 解析：设PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝.∵θ∈[0°，90°]，∴θ＝60°，故选C. ＝＝＝ 4．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三视图如图所示，则异面直线D1C与AC1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：D 解析：由三视图可知几何体为直四棱柱，底面为直角梯形且两底边长分别为1,2，高为1，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.连接DC1，易得AD⊥D1C，DC1⊥D1C，AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面ADC1，所以D1C⊥AC1，所以异面直线D1C与AC1所成的角为90°. 5. [来源:学科网] [2019·衡阳模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：连接AC，B1C，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴∠B1AC为异面直线EF与AB1所成的角．在△AB1C中，∵AB1，AC，B1C为面对角线，∴AB1＝AC＝B1C，∴∠B1AC＝. ，∴cos∠B1AC＝ 6．[2019·陕西质检]已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cosθ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：解法一　取BC的中点O，连接OA，OD，所以OA⊥OC，OD⊥OC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以OA⊥平面BCD，所以OA，OD，OC两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，因为AB＝4，所以B(0，－2,0)，D(2＝[来源:Zxxk.Com]，－2,0)，则cosθ＝＝(2)，＝(0，－2，－2)，所以，0,0)，C(0,2，0)，A(0,0,2 . ＝＝ 解法二　如图，取BC的中点O，取BD的中点E，取AC的中点F，连接OA，OE，OF，EF，则OE∥CD，OF∥AB，则∠EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角，依题得OE＝，G为OC的中点，则OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝120°，所以由余弦定理得EG＝ OA＝AB＝2，过点F作FG⊥BC于点G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝CD＝2，OF＝ ＝ ， ＝ 由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝(. ，所以cosθ＝，因为θ＝＝－＝)2＝10，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝)2＋( 7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：A 解析： 由已知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， ＝，E(0,0，a)，所以，0,0)，D cos〈， ＝＝，n〉＝ 〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A. 8．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　) A．150° B．45° C．120° D．60° 答案：D 解析：如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥B