1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教B版

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 学科素养 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 通过对全称量词命题、存在量词命题否定的学习，提升“数学抽象”“逻辑推理”的核心素养. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 知识点1　命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”. 知识点2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题∀x∈M，¬p(x). 2.全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题∃x∈M，¬q(x). [微体验] 1.思考辨析 (1)命题¬p的否定是p.(　　) (2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反.(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2.若命题p：∃x0>0，x－3x0＋2>0，则命题¬p为(　　) A.∃x0>0，x－3x0＋2≤0 B.∃x0≤0，x－3x0＋2≤0 C.∀x>0，x2－3x＋2≤0 D.∀x≤0，x2－3x＋2≤0 C　[命题p是一个存在量词命题，¬p为：∀x>0，x2－3x＋2≤0.] 3.已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么¬p是____________. ∃x>2，x3－8≤0　[命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则¬p：∃x>2, x3－8≤0.] 探究一　全称量词命题的否定与真假判断 (1)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A.∀x∈R，|x|＋x2<0 B.∀x∈R，|x|＋x2≤0 C.∃x0 ∈R，|x0|＋x<0 D.∃x0 ∈R，|x0|＋x≥0 C　[命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”.] (2)写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假： ①p：所有矩形的对角线相等； ②p：不论m取什么实数， x2＋x－m＝0必有实数根. 解　①¬p：有的矩形的对角线不相等.假命题. ②¬p：存在实数m0，使x2＋x－m0＝0没有实数根.真命题. [变式探究]　若本例(2)②变为“p：不论m取什么实数， x2＋2mx＋m2＋1＝0都无实数根”，试写出¬p，并判断其是真命题还是假命题. 解　¬p：存在实数m0，使x2＋2m0x＋m＋1)＝－4<0，故方程无实数根.所以¬p为假命题.＋1＝0有实数根.由于Δ＝(2m0)2－4(m [方法总结] 全称量词命题的否定形式与判断真假的方法 (1)求全称量词命题的否定命题，先将全称量词调整为存在量词，再对性质p(x)进行否定. (2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题. [跟踪训练1]　命题p：∀x∈(0，π)，sin x＞0的否定为(　　) A.∀x∈(0，π)，sin x≤0　 B.∀x∈(0，π)，sin x＜0[来源:学科网ZXXK] C.∃x0∈(0，π)，sin x0≤0 D.∃x0∈(0，π)，sin x0＜0 C　[p是一个全称命题，其否定为∃x0∈(0，π)，sin x0≤0.] 探究二　存在量词命题的否定与真假判断 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)p：∃x0>1，使x－2x0－3＝0； (2) ¬p：存在一个非负数的平方不是正数； (3) ¬p：∃x0，y0∈Z，使得 x0＋y0＝3. 解　(1) ¬p：∀x>1，x2－2x－3≠0.假命题. (2) ¬p：非负数的平方是正数，假命题. (3) ¬p: ∀x，y∈Z，都有x＋y≠3.假命题. [方法总结] (1)对存在量词命题否定的两个步骤 ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词. ②否定：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. (2)存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. [跟踪训练2]　写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假. (1)∃x0∈R, x0>2； (2)∃x0∈R, x<0. 解　(1)∀x∈R，有x≤2.它是假命题.[来源:学&科&网Z&X&X&K] (2)∀x∈R，有x2≥0.它是真命题. 1.含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题.全称量词命题p：∀x∈M，p(x)；¬p：∃x0∈M，¬p(x0). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题.存在量词命题p：∃x0∈M，p(