2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教B版

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识点1　一元二次方程的解集 1.形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 2.一元二次方程解的情况 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(※)的判别式：[来源:Z.xx.k.Com] 当Δ>0时，方程(※)有两个不相等的实根； 当Δ＝0时，方程(※)有两个相等的实根. 当Δ<0时，方程(※)没有实根. 知识点2　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，设其两个根分别为x1，x2，则有 x1＋x2＝－，x1x2＝ 这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系. 探究一　利用判别式法解一元二次方程 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根. (1)x2－3x＋3＝0；(2)x2－ax－1＝0； (3) x2－ax＋(a－1)＝0； 解　(1)因为Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，所以方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程有两个不等的实数根， x1＝.[来源:学#科#网Z#X#X#K]， x2＝ (3)由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；[来源:Z§xx§k.Com] ②当a≠2时，Δ＞0, 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1. [方法总结] 配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)现将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程无实根. [跟踪训练1]　解方程：x2－2x＋a＝0. 解　由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根x1＝1＋； ，x2＝1－ ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根. 探究二　一元二次方程根与系数的关系 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解　方法一：因为2是方程的一个根， 所以5×22＋k×2－6＝0，所以k＝－7. 所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－. 即方程的另一个根为－，k的值为－7. 方法二：设方程的另一个根为x1， 则2x1＝－. ，所以x1＝－ 由，得 k＝－7. ＋2＝－ 所以方程的另一个根为－，k的值为－7. [方法总结] 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则有如下关系：[来源:学*科*网Z*X*X*K] x1＋x2＝－.　, ，| x1－x2|＝，x1x2＝ [跟踪训练2]　已知方程x2＋kx＋3k＝0的两个实数根是x1，x2，且x＝7，求k的值. ＋x 解　由根与系数的关系，得， 由x＝( x1＋x2)2－2 x1x2，得k2－6k＝7， ＋x 解得k1＝7，k2＝－1， 由于方程有两个实数根，Δ>0，即k2－12k>0， 显然，k＝7时，不满足这个条件，k＝－1满足这个条件， 所以k＝－1. 1.一元二次方程的四种解法 (1)直接开平方法：如果x2＝k(k≥0)，则x＝±. (2)配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解； (3)公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)； (4)因式分解法：如果(x－a)(x－b)＝0，则x1＝a，x2＝b. 2.一元二次方程根与系数的关系 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. ，x1x2＝ 课时作业(十)　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.方程(x＋1)2＝9的解是(　　) A.x＝2　　　　　　　 B.x＝－4 C.x1＝2，x2＝－4 D.x1＝－2，x2＝4 C　[由(x＋1)2＝9得x＋1＝±3，所以x1＝2，x2＝－4.] 2.用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是(　　) A.(x－1)2＝2 B.(x－1)2＝4 C.(x－1