2.2.1 不等式及其性质（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教B版

2.2　不等式 2.2.1 不等式及其性质 课程标准 学科素养 1.通过对比，理解等式和不等式的共性与差异. 2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 通过对等式及其性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. 知识点1　比较实数大小 1.不等式：用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，称为不等式. 注意：a≥b⇔a>b或a＝b;a≤b⇔a<b或a＝b. 2.实数大小的依据 [微体验] 1.在下列式子中，不是不等式的是(　　) A.m≤0　 B.－1>－ C.x＝5　 D.2x2＋x>1 答案　C 2.设M＝4＋x2，N＝4x，则M与N的大小关系为(　　) A.M ≥N　 B.M＝N C.M≤N　 D.与x有关 A　[因为M－N＝4＋x2－4x＝(x－2)2≥0.所以M≥N.][来源:学科网] 知识点2　不等式的性质[来源:学&科&网] 1.不等式的性质 性质1　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2　如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3　如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4　如果a>b，b>c，那么a>c.(传递性) 性质5　如果a>b⇔b<a.(对称性) 2.不等式性质的推论 推论1　如果a＋b>c，则a_>c－b. 推论2　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4　如果a>b>0，那么an> bn(n∈N，n>1). 推论5　如果a>b>0，那么. >， > [微体验] 1.思考辨析 (1)若a>b，则ac>bc一定成立.(　　) (2)a>b⇔a＋c>b＋c.(　　) (3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2.用反证法证明命题“如果a>b，那么”时，假设的内容是(　　) > A.<　 B.＝ C.<或＝　 D.<，且＝ 答案　D 3.已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　) A.ad>bc　　 B.ac>bc C.a－c>b－d　 D.a＋c>b＋d D　[a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项.] 4.若a>b>0，n>0，则.(填“>”“<”或“＝”) _________ <　[因为a>b>0，n>0，所以an>bn>0. 因为>0， 所以an·.]>，所以>bn· 探究一　比较大小问题 已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小. 解　 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， 因为x2－x＋1＝>0， ≥2＋ 所以当x>1时，(x－1)(x2－x＋1)>0， 即x3－1>2x2－2x； 当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x； 当x<1时，(x－1)(x2－x＋1)<0，即x3－1<2x2－2x. [方法总结] 作差法比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)定号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)结论. 这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提. [跟踪训练1]　已知a、b为正实数，试比较的大小. ＋与＋ 解　＋)＝＋－( ＝＝＋ ＝. 因为a、b为正实数， 所以)2≥0. －>0，(>0，＋ 于是有≥0， 当且仅当a＝b时等号成立， 所以，当且仅当a＝b时取等号.＋≥＋ 探究二　用综合法证明不等式 已知c>a>b>0，求证：. > 证明 因为c＞a＞b＞0所以c－a＞0，c－b＞0， ＜⇒ ⇒.＞⇒ [变式探究1]　将本例中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”，证明：. > 证明　因为a>b>0，所以ab>0，>0. 于是a×.>.由c<0，得>，即>b× [变式探究2]　将本例中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6<a<8,2<b<3”，如何求出2a＋b，a－b及的取值范围？ 解　因为－6<a<8,2<b<3，所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19. 又因为－3<－b<－2，所以－9<a－b<6. 又<4； ，①当0≤a<8时，0≤<< ②当－6<a<0时，－3<<0. 由①②得－3<<4. [方法总结] 综合法证明不等式的关键 (1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. (2)综合法证明不等