2.2.4 均值不等式及其应用（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教B版

2.2.4　均值不等式及其应用 课程标准 学科素养 1.掌握基本不等式(a>0，b>0). ≤ 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 通过对基本不等式和求最值的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. 知识点1　 算术平均值与几何平均值[来源:学科网ZXXK] 1.给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值. 称为a，b的算术平均值；数 2.均值不等式(基本不等式) 如果a，b都是正数，那么，当且仅当a＝b时，等号成立. ≥ 3.均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均值. 4.均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. [微思考] 2≥ab是等价的吗？ 与≥ 提示　不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 知识点2　两个结论 (1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 探究一　利用均值不等式证明不等式 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 证明：≥9. ＋＋ 证明　＋＋＝＋＋ ＝3＋()≥3＋2＋2＋2＝9. ＋)＋(＋)＋(＋ 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. [方法总结] 用均值不等式证明不等式的解题策略 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式. [跟踪训练1]　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b) ≥2＝8abc. ·2·2 当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立. 探究二　利用均值不等式求最值 已知x＞0，y＞0，且＝1，求x＋y的最小值. ＋ 解　方法一：(1的代换)因为＝1， ＋ 所以x＋y＝(x＋y)·. ＋＝10＋ 因为x＞0，y＞0，所以＝6. ≥2 ＋ 当且仅当，即y＝3x时，取等号. ＝ 又＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16. ＋ 所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法二：(消元法)由. ＝1，得x＝＋ 因为x＞0，y＞0，所以y＞9. x＋y＝＋1 ＝y＋＋y＝y＋ ＝(y－9)＋＋10. 因为y＞9，所以y－9＞0， 所以y－9＋＝6. ≥2 当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法三：(配凑法)由＝1得，y＋9x＝xy， ＋ 所以(x－1)(y－9)＝9. 所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥ 10＋2＝16. 当且仅当x－1＝y－9时取等号. 又因为＝1，所以x＝4，y＝12. ＋ 所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. [方法总结] 1.利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合均值不等式成立的前提条件，a＞0，b＞0； ≥ (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立. 提醒：以上三点缺一不可. 2.若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式. [跟踪训练2]　(1)已知＝2(x＞0，y＞0)，则x·y的最小值是________； ＋ (2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值为________. (1)6　(2)18　[(1)方法一：因为2＝， ≥2 ＋ 所以 ≤1，所以xy≥6， ≤1，所以 当且仅当，即x＝2，y＝3时等号. ＝ 所以xy的最小值为6. 方法二：由＝2得，3x＋2y＝2xy， ＋ 因为x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥2，等号在3x＝2y时成立，[来源:学§科§网] 所以2xy≥2，所以xy≥6. 由. ，得 所以xy的最小值为6. (2)由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得＝1. ＋ 所以x＋y＝(x＋y) ＝＋10＝18. ＋10≥2＋ 当且仅当，即x＝2y＝12时等号成立. ＝ 所以x＋y的最小值是18.] 探究三　利用均值不等式解实际问题 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解　设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝＋10 809＝10 989(元)， ＋10 809