3.1.1 第2课时 函数的表示方法（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教B版

第二课时　函数的表示方法 课程标准 学科素养 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用. 通过对函数表示法的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 知识点　函数的表示方法[来源:学科网ZXXK] 1.解析法：用代数式(或解析式)表示函数的方法. [微体验] y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)[来源:学*科*网] A.y＝　　　　　 B.y＝－ C.y＝ D.y＝－ C　[设y＝.]，所以k＝2，所以y＝(k≠0)，由题意知1＝ 2.图像法 (1)图像法：用函数的图像表示函数的方法. (2)函数图像：一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标和纵坐标，则满足条件的点(x, y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|_y＝f(x)，x∈A}. 注意：如果F是函数y＝f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上. 3.两种特殊函数 (1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. (2)常数函数：值域只有一个元素的函数，也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等. [微体验] 1.已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　　) A.π2　　 B.π　　 C.　　 D.不确定 答案　B 2.下列图像是函数y＝的图像的是(　　) C　[由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图像过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数图像是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分.因此只有图像C符合.] 3.函数f(x)＝则f(f(4))＝________. 0　[因为f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0， 所以f(f(4))＝f(－1)＝0.] 探究一　函数解析式的求法 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6.求f(x)的解析式； (2)已知f(.求f(x)的解析式. ＋1)＝x＋2 解　(1)设反比例函数f(x)＝(k≠0)， 则f(3)＝. ＝－6，解得k＝－18. 所以f(x)＝－ (2)方法一：换元法.令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2.[来源:学科网] 所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1. 所以f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二：配凑法.因为x＋2＋1)2－1， ＝( 所以f(＋1)2－1. ＋1)＝( 又因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1). [变式探究]　将本例(2)中的已知条件改为f呢？ ＝ 解　方法一：换元法.设t＝(t≠0)， ，则x＝ 代入f. ＝，得f(t)＝＝ 故f(x)＝(x≠0，且x≠±1). 方法二：因为f， ＝＝ 所以f(x)＝(x≠0，且x≠±1). [方法总结] 求函数解析式的两种方法 方法一：待定系数法. 适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等. 操作过程： 方法二：换元法. 适用条件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式. 操作过程：[来源:学科网] 提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域. 探究二　函数图像的画法及应用 作出下列函数的图像，并指出其值域. (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0). 解　(1)用描点法可以作出所求函数的图像如图①所示. 由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为. (2)用描点法可以作出函数的图像如图②所示. 由图可知y＝(－2≤x≤1, 且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞). [方法总结] 描点法作函数图像的三个关注点 (1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像. (3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.　, [跟踪训练1]　作出下列函数图像： (1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3). 解　(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1,0,1,2}. 所以图像为一直线上的孤立点，如图①. (2)因为y＝2(x－1)2－5， 所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3； 当x＝1时，y＝－5. 所画函数图像如图②. 探究三　分段函数求值问题 已知函数f (x)＝ (1)求