第二讲 等比数列及求和-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第二讲 等比数列及求和 一、知识梳理 1、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项． 3、若等比数列的首项是，公比是，则．[来源:学科网] 4、通项公式的变形：①；②；③；④． 5、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则． 6、等比数列的前项和的公式：． 7、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则． ②． ③，，成等比数列． 二、典型例题 例1：有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数． 设前三个数为，，， 其和为48，即 所以 或 （舍去） 故这四个正数分别为12，16，20，25． 变式： （1）已知数列五个数成等比数列,试求的值 答案：，，或：，， （2）等比数列中，，且，求的值。 解：由题意可得：在等比数列中，若，，，，且，则有． 因为， 所以， 因为等比数列中，， 所以． 例2.已知数列的前项和记为， （1）求；（2）证明数列是等比数列，并求． 解：（1），可得， 解得， ， 解得； （2）证明：， 可得， 相减可得， 化简可得， 即有数列是首项为，公比为的等比数列， 则． 例3．在等差数列中，，数列为等比数列，若 求满足的最小的自然数n的值 解：等差数列中， ，，， 解得． ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 最小正整数是7 例4．已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求使成立的正整数的最小值． 解：（1）设等比数列的首项为，公比为． 依题意，有，代入， 可得，，（2分）[来源:学科网ZXXK] 即，解之得或 （4分） 又数列单调递增，所以，， 数列的通项公式为．（6分） （2）因为， 所以， ， 两式相减，得．（10分） 要使，即，即． 易知：当时，； 当时，．故使 成立的正整数的最小值为5．（12分） 例5.数列满足，且(…)． (1)求，并证明数列是等比数列； (2)求. 解：（1）， （2） 例6.已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 解：（1）当n＝1时，a1＝﹣14； 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣5an+5an﹣1+1， 所以， 又a1﹣1＝﹣15≠0，所以数列{an﹣1}是等比数列； （2）由（1）知：， 得， 从而（n∈N*）； 由Sn+1＞Sn，得（）n＜，即n＞≈14.9， 最小正整数n＝15．[来源:学科网ZXXK] 例7.若等比数列的公比且满足：，，则的值为多少？ 解：∵a1+a2+a3+a4+a5＝6，a12+a22+a32+a42+a52＝18，等比数列{an}的公比q≠1， ∴＝6，＝18， ∴＝3 则a1﹣a2+a3﹣a4+a5＝＝3，故答案为：3．[来源:学,科,网Z,X,X,K] 例8. 数列以1000为首项，公比为的等比数列，数列满足， （1）求数列的前项和的最大值； （2）求数列的前项和． 解：（1）由题意：an＝104﹣n，∴lgan＝4﹣n， ∴数列{lgan}是首项为3，公差为﹣1的等差数列， ∴， ∴ 由，得6≤n≤7， ∴数列{bn}的前n项和的最大值为 （2）由（1）当n≤7时，bn≥0，当n＞7时，bn＜0， ∴当n≤7时， 当n＞7时，Sn′＝b1+b2++b7﹣b8﹣b9﹣﹣bn ＝ ∴Sn′＝ 例9. 已知数列的首项=，=，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记Sn=，若Sn＜100，求最大的正整数． （3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． （1）证明：首项a1＝，an+1＝，n＝1，2，3…． ∴＝+，变形为：﹣1＝（﹣1），﹣1＝． ∴数列{﹣1}为等比数列，首项为，公比为． ∴﹣1＝×，解得：an＝． （2）解：假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件， 则有（3s+2）2＝（3m+2）（3t+2）， 即32s+4×3s+4＝3m+t+2•3m+2•3t+4， ∵2s＝m+t，∴得3m+3t＝2×3s． 但是3m+3t≥＝2×3s，当且仅当m＝t时等号成立， 这与m，s，t互不相等矛盾， ∴不存在互不相等的正整数m，s，t满足题给的条件． 三．专题练习 1.在各项都为正数的等比数列中，首项 ，前三项和为21，则 A．33 B．72 C． 84 D．189 2．等比数列中，，则的前4项和为 A．81 B．120