第三讲 数列的通项公式-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第三讲 数列的通项公式 一．方法归纳 法 利用关系，最后要注意可合并的要合并。 例1.已知下列两数列的前项和的公式，求的通项公式. （1） （2） 解：（1）∵Sn＝2n2+n，∴n＝1时，a1＝2+1＝3；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2+n﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]＝4n﹣1，n＝1时也成立． ∴an＝4n﹣1． （2）Sn＝2n2+3n+1，∴n＝1时，a1＝2+3+1＝6；n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2+3n+1﹣[2（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]＝4n+1， ∴an＝． 例2.（1）已知数列的前项和 解：（1）对于Sn＝（an﹣1），① 则Sn﹣1＝（an﹣1﹣1），② 当n≥2时，①﹣②可得：Sn﹣Sn﹣1＝（an﹣an﹣1）， 即an＝﹣an﹣1， 即数列{an}为首项a1＝﹣，公比为﹣的等比数列， 则an＝（﹣）×（﹣）n﹣1＝﹣． （2）已知数列的首项,其前项和,求. 解：根据题意，数列{bn}满足Bn＝（n+1）bn，① 则n≥2时，有Bn﹣1＝×n×bn﹣1，② ①﹣②可得：2bn＝（n+1）bn﹣n×bn﹣1，变形可得：＝， 又由b1＝1，则bn＝××……××b1＝××……××1＝n； 故bn＝n． 变式1：已知数列满足：，求的通项公式 解答：数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）an＝2n． n≥2时，a1+3a2+5a3+…+（2n﹣3）an﹣1＝2n﹣2． ∴（2n﹣1）an＝2． ∴an＝ [来源:Zxxk.Com] 当n＝1时，a1＝2，上式也成立． ∴an＝． （2）由＝n+1， 得． 所以：， ＝2n+2+n﹣4． 迭加法 把原递推公式转化为，利用迭加法求解。 例3.在数列中，， ，则 答案： 例4．已知数列满足，，则 答案： 累乘法 把原递推公式转化为，利用累乘法求解。 例5（1）已知,求. [来源:学科网] 答案： (2)已知数列满足，，则 答案： (3)已知， ，则 解：已知a1＝3，an+1＝an（n≥1）， 则：[3（n+1）﹣1]an+1＝（3n﹣1）an， 整理得：＝1， 所以：数列{（3n﹣1）an}是以（3×1﹣1）a1＝6为首项，1为公比的等比数列． 所以：＝，（首项符合） 故：． 周期型解法 由递推式计算出前几项，寻找周期 例6. 若数列满足，若，则的值为_________ 答案： 例7.已知数列满足，则 答案： 例8.已知数列满足 答案： 构造法（构造等差或等比数列求通项公式） （1）（其中均为常数，）型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 例9.已知数列的首项,,求. 解：∵a1＝5，an+1＝2an+1，n∈N*． ∴an+1+1＝2（an+1），n∈N*．[来源:Z+xx+k.Com] 即，n∈N*都成立， 又a1+1＝6≠0， ∴数列{an+1}是首项为6，公比为2的等比数列． an+1＝6•2n﹣1， 则an＝6•2n﹣1﹣1， （2）型数列，由递推关系式都可以转化为等差数列 例10.已知数列满足，,求. 答案： （3）的形式，这种一般对两边取倒数后求解 例11.若数列满足且,求. 答案： （4） 型数列，若用对数法，若,用迭代法. 例12.若数列满足,且,求. 答案： （5）型数列 ①转化为 ②叫做数列的特征方程。 时， 时，（A,B由确定）。 例13.（1）已知在数列中，，，求数列通项公式。 答案： （2）若数列满足,且,求. 答案： 二．典型例题 例14.设数列的前项和为，满足，，且成等差数列． （I）求的值； （Ⅱ）求数列的通项公式； （1）解：∵数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an+1﹣2n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差数列， ∴a1+a3＝2（a2+5），①， 当n＝1时，2a1＝a2﹣3，② 当n＝2时，2（a1+a2）＝a3﹣7，③ ∴联立①②③解得，a1＝1，a2＝5，a3＝19． （2）证明：由2Sn＝an+1﹣2n+1+1，①得2Sn﹣1＝an﹣2n+1，（n≥2），②， 两式相减得2an＝an+1﹣an﹣2n（n≥2）， ＝＝3（n≥2）． ∵＝3，∴{a