第四讲 数列求和-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第四讲 数列求和 一．方法归纳 公式求和 包括等差等比数列的求和公式。 1. 2. 例1.已知数列的前项和和通项满足（是常数且） （Ⅰ）求数列的通项公式 （Ⅱ）当时，试证明 答案：（1） （2） 错位相减法求和 例2：（1），求 （2） ,求 答案：（1），（2） 例3.设等比数列的前项和为，已知 （Ⅰ）求数列的通项公式 （Ⅱ）在和之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列前项和 裂项法求和 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. = 例4.(1) 数列的前项和，，则 答案：2016 (2) 数列的前项和，，则 答案： 例5.已知数列的前项和为，且满足 （Ⅰ）求数列的通项公式 （Ⅱ）若，且，求数列的前项和 例6.已知数列满足 （Ⅰ）求数列的通项公式 （Ⅱ）设，求数列的前项和 例7.，求和 答案： 分组法求和 例8.（1）求数列的前项和： 答案： （2）求数列的前项和： 答案： 例9．等差数列中， （Ⅰ）求通项及 （Ⅱ）设，求数列的前项和 二．经典例题 例10．已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，a1＝b1＝1，a2+a3＝2b2，a3﹣b2＝1． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝，n∈N*，求证：c1+c2+…+cn＜6． 解：（1）设{an}是各项均为正数且公比为q（q＞0）的等比数列， {bn}是公差为d的等差数列，a1＝b1＝1，a2+a3＝2b2，a3﹣b2＝1， 即有q+q2＝2（1+d），q2﹣（1+d）＝1， 解得q＝d＝2， 则bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，an＝2n﹣1，n∈N*； （2）证明：cn＝＝（2n﹣1）•（）n﹣1， 设Sn＝c1+c2+…+cn＝1•（）0+3•（）+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1， Sn＝1•（）+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n， 相减可得Sn＝1+2[（）+（）2+（）3+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n ＝1+2•﹣（2n﹣1）•（）n， 化简可得Sn＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1， 由n∈N*，可得6﹣（2n+3）•（）n﹣1＜6， 即有c1+c2+…+cn＜6． 例11.设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝nan﹣2n（n﹣1），首项a1＝1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列的前n项和为Mn，求证：≤Mn＜． 解：（1）Sn＝nan﹣2n（n﹣1）， 当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1﹣2（n﹣1）（n﹣2）， 相减可得an＝nan﹣2n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1+2（n﹣1）（n﹣2）， 化为an＝an﹣1+4，[来源:学#科#网] 则{an}为首项为1，公差为4的等差数列， 即有an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3； （2）证明：＝＝（﹣）， 前n项和为Mn＝（1﹣+﹣+…+﹣） ＝（1﹣）， 由（1﹣）在自然数集上递增，可得n＝1时取得最小值，[来源:学科网ZXXK] 且（1﹣）＜， 则≤Mn＜． 例12．在正项等比数列{an}中，公比q∈（1，+∞），a3与a5的等比中项为2，且a1a5+2a3a5+a2a8＝25． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝3+log2an，数列{bn}的前n项和Sn，设，求Tn． 解：（1）因为等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a2a8＝25， 所以．因为an＞0，所以a3+a5＝5，① 又因为a3与a5的等比中项为2，所以a3a5＝4，② 由①②可得，或，[来源:学科网] 所以q＝±2或， 又q∈（1，+∞），所以q＝2， 所以； （2）， 所以{bn}是等差数列，所以， 所以， 所以 例13．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2an+2n． （1）证明数列{}是等差数列，并求出an； （2）求Sn； （3）令bn＝，若对任意正整数n，不等式bn＜恒成立，求实数m的取值范围． 解：（1）证明：a1＝1，an+1＝2an+2n， 可得＝+， 可得数列{}是首项和公差均为的等差数列， 可