第五讲 数列综合-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第五讲 数列综合 一．典型例题 例1.设数列的前n项和为，且满足：． （1）若，求a1的值； （2）若成等差数列，求数列{an}的通项公式． 解：（1）因为，所以， 即， 解得或． （2）设等差数列，，的公差为． 因为， 所以，① ，② ，③ ②①， 得， 即，④ ③②， 得， 即，⑤ ⑤④， 得， 即． 若，则，与矛盾， 故． 代入④得， 于是． 因为， 所以， 所以， 即， 整理得， 于是． 因为， 所以， 即． 因为， 所以． 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 因此，． 例2.在数列中，，，，为常数，． （1）求的值； （2）设，求数列的通项公式； （3）是否存在正整数（），使得与都为等差数列？ 若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意，可将代入递推式， 整理，得， ，， 可解得：． （2）由题意，可将题干中递推式转化为： ， 两边同时除以，可得： ， 即：，． ， ， ， ． 各项相加，得： ． ，． （3）由（2），可知： ，． 由题意，可假设存在正整数，，且，使得，，与，，同时成等差数列， 则有：且， 代入的通项公式，可得： ． 化简整理，得：， 令，， 则：，， 数列是单调递减数列． （Ⅰ）若， ①当时，根据，可得： ， 可得：． 当，，时符合题意． ②当时，则有： ，[来源:学|科|网] ， 此种情况不符合题意． （Ⅱ）若， ，． 数列是单调递减数列． ． ． 此种情况也不符合题意． 综上所述，可知： 存在，，，使得，，与，，同时成等差数列． 例3.已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为． （1）若数列通项公式为，求证：； （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围； （3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由． 解：（1）， ， ， ，即． （2）设的公差为， ， ． 特别地，当时，，即， 由得， 整理得． 上述不等式对一切恒成立，必有，解得． 又，， ，即， ，即， ， 因此的取值范围是，． （3）由，得，[来源:学科网] ，即， 所以， 从而有， 又，所以，即， 又，， 所以有，所以， 假设数列中存在无穷多项依次成等差数列， 不妨设该等差数列的第项为，为常数）， 则存在，，使得， 即， 设，，， 则， 即（3）， 于是当时，，[来源:学科网] 所以当时，，即， 所以当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立， 因此数列中不存在无穷多项依次成等差数列． 例4.设数列的前项和，对任意，都有（为 常数）． （1）当时，求； （2）当时， （ⅰ）求证：数列是等差数列； （ⅱ）若对任意，必存在使得，已知， 且，求数列的通项公式． 解：（1）当时，．① 当时，， 所以． 当时，．② ①②得：． 因为， 所以， 所以， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以． （2）（ⅰ）当时，．③ 当时，．④ ③④得：，⑤ 所以．⑥ ⑤⑥得：． 因为，所以， 所以是等差数列． （ⅱ）因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为、、， 所以． 又因为， 所以， 所以或． 当时，， ， 所以，[来源:学+科+网Z+X+X+K] 所以 不符合题意． 当时，， ， 所以满足题意． 所以． 例5.设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，． （1）设数列其前项和为，，． ① 若，，求的值； ② 若数列为等差数列，求； （2）求证：数列中存在三项（按原来的顺序）成等比数列． 解：（1）设等差数列的公差为， 因为无穷数列的各项均为互不相同的正整数，所以，， 由，得，，， 解得，，所以； （2）因为数列为等差数列，所以，即， 所以，解得已舍）， 此时，； 证明：（3）由（1）知，等差数列的通项公式，， 下证：对任意的，都是中的项， 当时，因为， 所以 ，其中， 又时，， 所以对任意的，都是中的项， 所以，数列中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列． 例6.已知数列的首项（），其前项和为，设（）． （1）若，，且数列是公差为3的等差数列，求； （2）设数列的前项和为，满足． ① 求数列的通项公式； ② 若对且，不等式恒成立，求a的取值范围． 解：（1）由已知可得：， 数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3． ，解得． ，． ． （2）①由，时，． 时，． ． 化为：， 数列为等比数列，公比为．首项为． ，即， ②不等式化为：，由． 不等式化为：．当为奇数时，，， ，即对，且恒成立． ，解得． 当为偶数时，，， ，即对，且恒成立． ，解得． 又，可得的取值范围为：． 例7．已知数列，，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是首项为1的正项等差数列，