第六讲 一元二次不等式-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第六讲 一元二次不等式 一、知识梳理 1．不等式的性质 (1)对称性：； (2)传递性：； (3)可加性：； ； (4)可乘性：； ； (5)可乘方：； (6)可开方：． 2.“三个二次”的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 的解集 的解集 注意： 　　（1）的情形要转化为的情形； 　　（2），解集的变化。 　　关于含参讨论注意： 　　（1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型； 　　（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）； 　　（3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。 　　（4）书写表达的规范。 3.恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 方法1 结合二次函数图象分析,进行分类讨论． 方法2 分离参数法 方法3 主参互换 (2)一次不等式恒成立问题 ①若关于的不等式对任意上恒成立，则 ②若关于的不等式对任意上恒成立，则 二、例题讲解 例1．解下列不等式： (1)； (2). 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0. 解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于 ⇔ ⇔⇔ 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为. 例2.求不等式的解集． 解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为∪； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为∪ 变式训练：1．若不等式的解集为，则＝________. 解析：由已知得所以a＝4，b＝7，所以ab＝28. 答案：28 2．解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0，[来源:学科网ZXXK] ∴①当a＝0时，可解得x>1， ②当a>0时，不等式可化为(x－1)<0， ∴当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅； 当0<a<1时，>1，不等式的解集为； 当a>1时，<1，不等式的解集为； ③当a<0时，不等可化为(x－1)>0， ∴不等式的解集为. 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 例3.设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________. 解：由题意可得，△， 得 ， ， ，，． 故答案为：，，． 变式1：已知当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 解：由得：， ， ，即， 恒成立， 令， 则， （当且仅当， 即时取等号）， ， [来源:学+科+网Z+X+X+K] 例4.若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是　 　． 解：不等式化为， 当，即时，不等式化为，不满足题意； 当，即时，应满足， 解得，[来源:Zxxk.Com] 即； 综上，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 变式1.已知实数满足，，则的最大值是________． 解：，， ，， 、是方程：的两个实数根， △ 即 即的最大值为 故答案为：． 例5已知不等式，是否存在实数对所有的实数，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立， 即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意； 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解， 即 不等式组的解集为空集，即m无解． 综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立． 变式1．设函数，若对于，恒成立，求的取值范围． 解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立， 则mx2－mx＋m－6＜0， 即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0， 所以m＜，则0＜m＜； 当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，即m＜0. 综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪. 法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜. 因为函数y＝＝ 在[1,3]上的最小值为， 所以只需m＜