第七讲 基本不等式-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第七讲 基本不等式 一、知识梳理 1．基本不等式(1)基本不等式成立的条件：. (2)等号成立的条件：当且仅当. 2．几个重要的不等式 (1) (2)(同号)； (3)()； (4)． 3．算术平均数与几何平均数 设则的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知，则 (1)如果是定值p，那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)． (2)如果是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)． 二、例题讲解 例1.若，求函数的最小值； 解答:12 变式1.将条件“”改为“”呢？（改为“”呢？） 解答:最大值，-12;:最小值. 变式2. (1)已知函数，求此函数的最小值。 解答:函数， 当且仅当时等号成立，即时取最小值为 (2)已知，求函数的最大值。 解答:，，， 当且仅当即时取“”号 例2.（1）已知，求的最小值 解答:4 （2）已知且，求的最小值 解答:2 （3）求的最小值 解答: （4）已知，求的最小值 解答:[来源:Zxxk.Com] （5）已知且，求的最小值 解答: （6）已知且，求的最大值 解答:9 （7）已知，，求的最小值 解答: （8）已知，，求的最小值 解答:7 （9）已知，，求的最小值 解答:7 （10）已知，，求的最小值[来源:学#科#网] 解答: （11）已知，，求的最小值 解答:8 例4.(1)．已知，若不等式恒成立，求的最大值． 解：，， ， 由，得，（当且仅当时取“” ． ． ． (2)．已知，对于任意有恒成立，求实数的取值范围. 解：，对于任意有恒成立， ，．当且仅当时取等号． ． 实数的取值范围是．[来源:学_科_网Z_X_X_K] (3)．已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围． 解：，，且①， ，当且仅当②时取等号， 联立①②解得，， 恒成立， ，解得， 实数的取值范围是． (4)设不等式对一切，恒成立，求实数的最小值． 解：原题即对一切，恒成立． 设， ， 当时等号成立，， ．即有最大值． 当时，对一切，成立． 的最小值为． 例5．已知为正数，则的最大值为 . 答案： 变式1.已知，为正数，则的最大值为　 　． 解：令，，则且， 当且仅当即时取等号即最大值为 故答案为： 例6.已知实数，满足，且，则的最大值为　　． 解：， 令， ， ， ， ， ， 解得， 的最大值为9， 故答案为：9． 三、举一反三 1．下列说法正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为4， C．的最小值为 D．的最大值为1 2．已知，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（　　） A． B．9 C．4+ D．10 4．已知，且，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．设正实数满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为　 　． 7．（1）已知，求函数的最大值． （2）若实数满足，求的最大值． 8．已知且恒成立，求实数的最大值． 四、参考答案 1. D．2． A．3．B．4．B．5．D． 6．解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立， ∴c≤=， 令， ∴=f（t）， f′（t）==，[来源:Z&xx&k.Com] 当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减． ∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4． ∴实数c的最大值为2﹣4． 故答案为：﹣4． 7．解：（1）∵x＜﹣2，∴x+2＜0， 则：﹣（x+2）＞0． ∴y=2（x+2）+﹣4， =﹣[﹣2（x+2）﹣]﹣4≤﹣2﹣4． 当且仅当﹣2（x+2）=﹣（x＜﹣2）， 解得x=﹣2﹣时，y取最大值﹣2﹣4． （2）x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=1， ∴（x+y）2=xy+1≤（）2+1． ∴（x+y）2≤ 解得：x+y．当且仅当x=y=时等号成立． 10．解：法一：由题意，a＞b＞c，a﹣b=p＞0，b﹣c=q＞0，则a﹣c=p+q＞0，那么不等式转化为， 不等式转化为，[来源:Z。xx。k.Com] 可得： 即．（当且仅当q=p时取等号） ∴实数m的最大值为． 法二：由题意，a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0， ∴转化为：． 可得：． 分离：3+2．（当且仅当（a﹣b）=（b﹣c）时取等号） ∴实数m的最大值为3． $$