第八讲 不等式的综合应用-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第八讲 不等式的综合应用 一、例题讲解 构造齐次法 例1.（1）已知，且，求的最小值______. [来源:学§科§网] （2）设，，则的最小值为 . 解：（1）． 当且仅当，即时，取最小值9． （2），，， ， 解得，当且仅当时取等号． 的最小值是4． 故答案为：4． 变式1.已知正实数满足，则最小值为 .[来源:Zxxk.Com] 解：正实数、满足，， ，， ， 当且仅当即即时取等号． 故答案为：4． 消元法解题 例2.设，，则的最小值为 . 答案：4． 变式1.设是 . 解：， ， ，当且仅当时取“”． 故答案为3． 换元法 例3.已知，则有最小值　 　． 解：，，， 换元可得 ， 当且仅当即即时取等号． 故答案为：1． 变式1.不等式对任意，恒成立，则实数的最大值为　 　． 解：，， ，，[来源:学科网ZXXK] ，则实数的最大值为2． 故答案为2． 三角换元 例4 . 已知，求的取值范围。 五、基本不等式在实际生活中的应用 例5如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm． （1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）； （2）求广告牌的面积的最小值． 【解答】解：（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45， 所以，且x＞1， 所以广告牌的面积s（x）＝tx＝（x＞1）． （2）由（1）知，s（x）＝tx＝ ＝+46.25＝61.25， 当且仅当，即x＝7号成立． 所以s（x）min＝s（7）＝61.25， 广告牌的面积的最小值为61.25． 课堂训练：党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【解答】解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元， 因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米， 因为底面长为x米，所以底面的宽为， 依题意有＝， 因为x＞0，由基本不等式和不等式的性质可得， 即， 所以y≥9240， 当且仅当，即x＝4时，等号成立， 所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元． 二、举一反三[来源:Zxxk.Com] 1．已知且，则的最小值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．256 2．若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，且，则的取值范围是　 　． 4．已知正数满足，则的取值范围为　 　． 5．若，，则的取值范围是　 　． 6．已知正实数满足，，则的取值范围是　 　． 7．若，则的最小值为　 　． 8．已知，． （1）求证：； （2）求的最小值． 三、参考答案 1． B．2 .A． 3．解：∵4≤a2+b2≤25， 令a=rcosα，b=rsinα（2≤r≤5）， 则a2+b2+ab=（rcosα）2+（rsinα）2+r2cosαsinα=r2（1﹣sinαcosα） =r2（1﹣）， ∵﹣1≤sin2α≤1， ∴2≤r2（1﹣）， 故答案为：[2，]． 4．解：2x++y+=9， ∴9﹣（2x+y）=+==≥=，当且仅当2x=y取等号，[来源:学#科#网] 设2x+y=t，t＞0，∴9﹣t≥，即t2﹣9t+8≤0，解得1≤t≤8，故2x+y的取值范围为[1，8]，故答案为：[1，8] 5．解：x，y∈（0，+∞），x+y+xy=4， 可得x+y+xy≥2+xy，可得（）2+﹣4≤0， ﹣2≤≤，可得0＜xy≤2，即有1＜xy+1≤3， 则==， 可令t=xy+1，由（xy+1）+=t+在（1，3]递减，可得 （xy+1）+∈[，17），则的取值范围是（，]， 故答案为：（，]． 6．解：正实数a，b，c满足+=1，+=1， 可得c＞1； 由（a+b）（+）≥2•2=4，（当且仅当a=b取得等号）， 则a+b≥4，则0＜≤，即为0＜1﹣≤， 解得1＜c≤，则c的取值范围是（1，]， 故答案为：（1，]， 7．解：=； ∵x＞1；∴x﹣1＞0；∴；∴；∴最小值为5． 8