第九讲 期中复习-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第九讲 期中复习 1、 知识点梳理 1、 回顾等差、等比数列的概念、性质和证明方法 2、 回顾数列通项公式的求法 3、 回顾求和公式的求法 4、 回顾不等式的解题技巧 2、 例题讲解 例1.数列{}的前n项和为，且满足，. （1）求{}的通项公式； （2）求和Tn =. 解：（1） ∵ ，两式相减，得， ∴ ， ∴. （2） = ==. 例2.已知数列满足. （1）若数列是等差数列，求的值； （2）当时，求数列的前项和； 解析：（1）若数列是等差数列，则. 由，得， 即 ， 解得，. （2）由，得 两式相减，得 所以数列是首项为，公差为4的等差数列. 数列是首项为，公差为4的等差数列, 由，得， 所以 ①当为奇数时，. ②当为偶数时， [来源:学。科。网Z。X。X。K] . 变式：在数列，中，已知,,,，数列的前项和为,数列的前项和为,且满足，，其中为正整数. (1)求数列、的通项公式； (2)问是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 例3.已知数列，a1=1，点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）函数，求函数最小值. 解 （1）∵在直线x－y+1=0上， ∴ 故是首项为1，公差为1的等差数列. ∴ （2）∵ ∴ ∴的最小值是 例4.已知数列中，，且当时， （1）求数列的通项公式； （2）若的前项和为，求 解：（1） 等差数列 （2）错位相减， 例5.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域； （2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）（）． （2）法一： [来源:Zxxk.Com] 当且仅当时，即时取等号 故 课堂训练：如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？ 解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy． 设A(a，0)，B(0，b)(0＜a＜1，0＜b＜1)， 则直线AB方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0． 因为AB与圆C相切，所以＝1．……………4分 化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2．………6分 因此AB＝＝＝ ＝． ………………8分 因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2， 于是AB＝2－(a＋b)． 又ab＝2(a＋b)－2≤()2， 解得0＜a＋b≤4－2，或a＋b≥4＋2． 因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，………………12分 所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－2)＝2－2， 当且仅当a＝b＝2-时取等号，[来源:学科网] 所以AB最小值为2－2，此时a＝b＝2-． 答：当A，B两点离道路的交点都为2－(百米)时，小道AB最短．……………14分 三、自我检测 1．已知为递增等比数列，．则　　 A． B．5 C．6 D． 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯　　 A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏 3．已知数列中，，，若，则的最大取值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知，，，则的最小值为　　 A． B． C．7 D．9 5．已知，，若关于的不等式的解集为，则　　 A． B． C．1 D．7 6．已知，，．则的最大值为　　 A．1 B． C． D．2 7．已知函数 （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）若对任意，，恒成立，求的取值范围． 8．一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是，那么每小时的燃料费是80元，已知船航行时其他费用为320元时，在航程中，船速不得超过为常数且，船速多少时船行驶总费用最少？ 9．已知数列的前项和，且； （1）求它的通项 （2）若，