第十一讲 椭圆-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十一讲 椭圆 一、知识梳理 1. 椭圆定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 当时， P的轨迹为椭圆 ; 当时， P的轨迹不存在; 当时， P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段 2. 椭圆的第二定义： 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 注意：①对 对应于右焦点F2（c，0）的准线称为右准线，方程是 ，对应于左焦点F1（-c,0）的准线为左准线 ②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式： 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 对于椭圆，设P（x，y）为椭圆上一点，由第二定义： 左焦半径 右焦半径 3.椭圆的方程与几何性质： 标准方程 图 形 性 质 范围 ， ， 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 ， ， ， ，[来源:学科网] 轴 长轴的长为2a 短轴的长为2b 焦距 离心率 a，b，c的关系 3.点与椭圆的位置关系: 当时，点P在椭圆外; 当时，点P在椭圆内; 当时，点P在椭圆上; 2、 重难点分析 [思想方法] 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F1F2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n) [易错防范] 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小. 2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根. 3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. [方法归纳] 1. 求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是： （1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上. （2）设方程：根据上述判断设方程. （3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组. （4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 2.椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路． 3.在求椭圆离心率的时候只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率. 三、例题讲解 例1（椭圆的定义及其运用）（1）已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝_____________． 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是_______. 解答：（1） 8 （2）m＞2或－2＜m＜－1 例2（求椭圆的标准方程）(1)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________. (2)已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝，则椭圆E的方程为________. (3)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________. (1)法一　椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4. 由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二　设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由e＝，即＝，得a＝2c，则b2＝a2－c2＝3c2. 所以椭圆方程可化为＋＝1. 将A(2，3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设点A在点B上方，F1(－