第十二讲 直线与椭圆-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十二讲 直线与椭圆 一、知识梳理 1. 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，转化为利用判别式判断一元二次方程是否有解，应特别注意数形结合思想的应用. 2. 注意根与系数的关系的应用. （1）弦长公式： 斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是，则 . 3. 有关中点弦问题. （1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系. （2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算. 4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决. （1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决. （2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值. 二、重难点分析 1．直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离． 2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB|＝ 或|AB|＝ . 3．直线与椭圆相交时的常见处理方法 当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化． 三、例题讲解 例1（点差法与中点弦） （1）椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程. （2）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积； (3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程. 解答：（1）设弦所在直线与椭圆交于两点， 则，，两式相减得：， 化简得， 把，代入得 故所求的直线方程为，即. （2）解　(1)由条件得＋＝1，且c2＝2b2， 所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设l1的方程为y＋1＝k(x＋1)，联立 消去y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0. 因为P为(－1，－1)， 解得M. 当k≠0时，用－代替k， 得N 将k＝－1代入，得M(－2，0)，N(1，1). 因为P(－1，－1)，所以PM＝，PN＝2， 所以△PMN的面积为××2＝2. (3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0， 从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0. 若x1＋x2＝0，则N(－x1，－y1). 因为PM⊥PN，所以·＝0，得x＋y＝2. 又因为x＋3y＝4，所以解得x1＝±1， 所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1，1). 所以直线MN的方程为y＝－x. 若x1－x2＝0，则N(x1，－y1)， 因为PM⊥PN，所以·＝0，得y＝(x1＋1)2＋1. 又因为x＋3y＝4，所以解得x1＝－或－1， 经检验：x1＝－满足条件，x1＝－1不满足条件. 综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－. 例2 （直线与椭圆的位置关系） 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．求的取值范围. 解答：由已知条件，直线的方程为， 代入椭圆方程，得． 整理得　　　① 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于 ，解得或． 即的取值范围为． 例3（与弦长有关的问题） 已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线l交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.[来源:学,科,网] 解答： a=3，b=1，c=2，则F（-2，0）. 由题意知：与联立消去y， 得. 设A（、B（，则是上面方程的二实根， 由根与系数的关系，得，， 所以|AB|=. 例4（直线与椭圆综合） 过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值. 解答：设A（x1，y1），B（x2，y2），： . 把代入椭圆方程得：， 即，， . ∴，此时，. 令直线的倾角为，则. 即△OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为. 例5（定值问题） 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，