第十五讲 解析几何热点题型-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十五讲 解析几何热点题型 一、重难点分析 直线的概念与直线方程是解析几何的基础，在高考中与直线相关的考题较多，但单独命题不多，它渗透到解析几何的各个部分，重视斜率、直线方程的应用等基础知识在圆、圆锥曲线中的综合应用.圆的方程、直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查圆的方程、弦长、面积的求法，并常与圆的几何性质交汇.圆锥曲线是解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主，注重“算理”的积累和表征，试题从不同的角度对问题进行表征，体现了对解析几何“多考一点想，少考一点算”的命题特点，问题在第(2)问或第(3)问中都伴有较为复杂的运算，要求有较强的运算求解能力. 二、考点突破 考点1　直线与圆的交汇问题 直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力. 例1 已知圆的圆心是抛物线y2＝－4x的焦点，且直线4x－3y－6＝0与圆相切，则圆的标准方程为________. 解析　由题意知圆心坐标为C(－1，0)，且圆心C到直线的距离等于半径，即R＝d＝＝2，故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 考点2　圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题. 例2 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点. (1)解　依题意得e＝＝， 过右焦点F与长轴垂直的直线x＝c与椭圆＋＝1， 联立解得弦长为＝1， ∴a＝2，b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　设P(1，t)，kPA＝＝，直线lPA：y＝(x＋2)， 联立得 即(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0， 可知－2xM＝， 所以xM＝， 则同理得到 由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0)， 又kMQ＝，kNQ＝， kMQ＝kNQ，所以化简得(8m－32)t2－6m＋24＝0， 令得m＝4， 即直线MN经过定点(4，0). 考点3　圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题. 例3 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程； (3)若＝λ，且λ∈，求·的最大值. 解　(1)由题意得 解得c＝1，a2＝2， 所以b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0. 由解得或 所以点Q的坐标为. 法一　因为·＝－1，所以△PQF2为直角三角形. 因为QF2的中点为，QF2＝， 所以圆的方程为＋＝. 法二　设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0. (3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2). 因为＝λ，所以 即 所以解得x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy ＝－x－(1＋λ)x2－λ ＝－－(1＋λ)·－λ ＝－. 因为λ∈，所以λ＋≥2＝2， 当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号. 所以·≤，即·的最大值为. 考点4　解析几何实际应用 例4 如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C-D-E-F，且CD， DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参 观线路的费用为万元，经测算 （1）用表示线段的长； （2）求修建该参观线路的最低费用． ( O A C B D l E F （第 4 题） ) ( O A C B D l E F Q x y )【解】设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，DQ＝QE，以OF所在 直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图 所示的平面直角坐标系xOy． （1）方法一