第十七讲 用向量法解决空间中的位置关系-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十七讲 用向量法解决空间中的位置关系 一、知识梳理 1. 空间向量的有关定理 (1) 共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在唯一的实数,使得. (2) 共面向量定理:如果两个向量不共线,那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.  (3) 空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底.  2. 两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1) 两向量的夹角:已知两个非零向量,在空间中任取一点O,作,则 叫做向量与的夹角,记作<>.通常规定0≤<>.若,则称向量互相垂直,记作. (2) 两向量的数量积 两个非零向量的数量积. 3. 空间向量的坐标运算[来源:学&科&网] (1) 设 , , , , , , (2) 设A,B,则. 4. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1) 直线的方向向量:是空间一直线,是直线上任意两点,则称为直线的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.[来源:Z。xx。k.Com] (2) 平面的法向量 ①定义:与平面垂直的向量,称做平面的法向量.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量. ②确定:设是平面内两个不共线的向量,为平面的法向量,则求法向量的方程组为. 5. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线的方向向量分别为 直线的方向向量为,平面的法向量为 平面的法向量分别为, 例1如图,在长方体1中,为的中点. (1) 化简: 　　　　.   (2) 用表示,则　　　　.  解：（1）﹣﹣＝﹣（+） ＝﹣ ＝﹣＝； （2）＝+＝（+）+ ＝++． 故答案为：；++． 【答案】 (1) 　(2) ++ 例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． （1）证明E，F，G，H四点共面； （2）证明BD∥平面EFGH． 【解答】解：如图，连结EG，BG． （1）∵BG是△BCD的中线，可得＝（+） ∴＝+＝+（+） ∵＝，＝ ∴＝++＝+， 根据向量共面的充要条件，得 可得E，F，G，H四点共面． （2）∵＝+，＝+ ∴＝+＝2+2＝2＝2（+）＝2+2， 结合，不共线，可得与，共面． 又∵BD⊄面EFGH，∴BD∥面EFGH． 　 例3如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2． （1）求证：MN∥平面BDE； (例3) 方法一：证明：（1）取AB的中点F，连结MF，NF， ∵MF∥BD，FN∥AC∥DE，BD∩DE＝D， ∴平面BDE∥平面FMN， ∵MN⊂平面FMN，∴MN∥平面FMN． 方法二：如图(*),以为原点,分别以,,方向为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得：,则,. 设为平面的法向量, 则即 不妨取,可得). 又,可得·. 因为, 所以MN∥平面BDE. (变式) 变式：如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点． （1）证明：直线MN∥平面OCD． 　 【解答】 作AP⊥CD于点P, (变式*) 连接OP,如图(*),分别以AB,AP,AO所在直线为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系, 则,,,,,,. 设平面OCD的法向量为,则, 即 不妨取,得. 因为·=·(0,4,)=0, 所以⊥,且MN⊄平面OCD, 所以MN∥平面OCD. 例4　如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2． （1）求证：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP是一点，且AM＝3．试证明平面AMC⊥平面BMC． 解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系， 如图所示； 则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4） （1）＝（0，3，4），＝（﹣8，0，0）， ∴•＝0×（﹣8）+3×0+4×0＝0， ∴⊥，即AP⊥BC； （2）∵M为AP上一点，且AM＝3， ∴M（0，﹣，）， ∴＝（0，，）， ＝（﹣4，﹣，）， ＝（4，﹣，）； 设平面BMC的法向量为＝（a，b，c）， 则， 即， 令b＝1，则＝（0，1，）；