第十八讲 空间角与距离的计算-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十八讲 空间角与距离的计算 一、知识梳理 1. 两条异面直线所成角的求法:设分别是两异面直线的方向向量,则: 范围 [来源:学科网] 求法 2. 3. 求二面角的大小: (1) 如图①,AB,CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小. (2) 如图②③,分别是二面角的两个半平面的法向量,则二面角的大小θ满足,二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角). 4. 空间距离: (1) 两点间的距离:设点,点,则 (2) 点到平面的距离:如图所示,已知AB为平面的一条斜线段,为平面的法向量,则点B到平面的距离为 . 二、例题讲解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，]）， 可知MN＝AB1＝， NP＝BC1＝； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ＝1，MQ＝AC， △ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ＝4+1﹣2×2×1×（﹣） ＝7， ∴AC＝， ∴MQ＝； 在△MQP中，MP＝＝； 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP＝＝＝﹣； 又异面直线所成角的范围是（0，]， ∴AB1与BC1所成角的余弦值为． 【解法二】如图所示， 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可； BC1＝，BD＝＝， C1D＝， ∴+BD2＝， ∴∠DBC1＝90°， ∴cos∠BC1D＝＝． 故选：C． 变式：如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°． （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；　 (变式) 解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD， ∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD， 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°， ∴A（0，0，0），B（），C（，1，0）， D（0，2，0）， A1（0，0，），C1（）． ＝（），＝（），，． （1）∵cos＜＞＝＝． ∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为； 【答案】 例2　如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，将△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB（如图2）．[来源:学科网ZXXK] （Ⅰ）求证：BC⊥AD； （Ⅱ）求直线DE与平面BCD所成的角的正弦值． 解：（I）证明：在图1中，作CH⊥AB于H，则， 又BC＝1，∴，∴，∴AC⊥BC， ∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC， ∴BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，∴BC⊥AD． （II）取AC中点F，连接DF，FE，易得FA，FE，FD两两垂直， 以FA，FE，FD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，∴， 设为平面BCD的法向量，则，即， 可得． 设直线DE与平面BCD所成的角为θ，则， ∴直线DE与平面BCD所成的角的正弦值为． 例3如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点． （Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB； （Ⅱ）点M为棱PC 的中点，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值． 解（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以EF∥AD且EF＝AD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD， ∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB， ∴直线CE∥平面PAB； （Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中， 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD， ∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点． 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N为OC的中点．[来源:Z§xx§k.Com] 取AB的中点Q，连接MQ，NQ 设AD＝2，则AB＝BC＝1，OP＝， 所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角． 由在直角三角形MNQ中， 二面角M﹣AB﹣D的余弦值为： 变式：如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝